石家庄二中2020~2021学年第一学期期中考试高二竞赛班数学试卷考试时间为120分钟，总分150一、选择题1．对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（ ）A ．相等B ．不相等C ．无法确定D ．与抽取的次数有关 2．命题“x ∀∈R ，20x>”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，020x > B ．0x ∃∈R ，020x ≤C ．x ∀∈R ，20x< D ．x ∀∈R ，20x≤3．从0，1，2，3，4，5这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A ．300 B ．216 C ．180 D ．1624．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程ˆˆ0.56yx a =+，样本点的中心为(170,69)，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ）A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.055．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ：“抽到一等品”，事件B ：“抽到二等品”，事件C ：“抽到三等品”，且已知()0.65P A =，()0.2P B =，()0.1P C =．则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ） A ．0.65 B ．0.35 C ．0.3 D ．0.0056．已知命题p ：1x >，命题q ：2x x >，则q ⌝是p ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是（ ）（下面摘取了随机数表第7行至第9行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．199B ．175C ．507D ．1288．已知椭圆C ：22142x y +=，过点(1,1)M 的直线与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若弦PQ 恰被点M 平分，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．12-C ．1-D ．2 9．有下列调查方式：①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90-100分，10人低于90分．现在从中抽取12人座谈了解情况；③运动会中工作人员为参加400m 比赛的6名同学公平安排跑道．就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（ ）．A ．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 10．若202020102018220200122020(1)(1)(1)1a xa x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202 D ．2021211．已知ABC △的顶点(3,0)B -和(3,0)C ，顶点A 在椭圆221167x y +=上，则sin sin sin B CA+的值为（ ） 12．已知A ，B 是抛物线28y x =上的两个动点且16AB =，则线段AB 中点M 到直线3x =-距离的最小值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．已知求得一组数据4，6，5，8，7，x ，6平均数是6，那么这组数据的中位数是______．14．某班的5名同学代表班级参加学校组织的知识竞赛，在竞赛过程中，每人依次回答问题，为更好的发挥5人的整体水平，其中A 同学只能在第一或最后一个答题，B 和C 同学则必须相邻顺序答题，则不同的答题顺序编排方法的种数为______（用数字作答）15．我国髙铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______．16．已知A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P ，M 都异于A ，B ），且()PA PB MA MB λ+=+，其中λ∈R ，设直线AP ，BP ，AM BM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k，若12k k +=34k k +=______．三、解答题17．设命题p ：函数()(21)2020f x k x =-+在R 上是减函数，命题q ：函数()g x =定义域为全体实数R ，如果()p q ∧⌝是真命题，求实数k 的取值范围． 18．某商场5个分店某日的销售额和利润额资料如下表：（Ⅰ）求利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；（Ⅱ）当销售额为4万元时，估计该零售店的利润额（单位：万元）． 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线分成v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．19．某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活． （Ⅰ）求所选2人中恰有一名男生的概率； （Ⅱ）求所选2人中至少有名女生的概率． 20．已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （Ⅰ）若4AF BF +=，求l 的方程； （Ⅱ）若3AP PB =，求AB ．21．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（Ⅲ）样本中身高在165~180cm 之间的女生．．中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm 之间的概率． 22．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．石家庄二中2020~2021学年第一学期期中考试高二理科班数学答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B 8．B 9．D 10．C 11．D 12．C二、填空题13．6 14．24 15．0.98 16．三、解答题17．【解析】若p 真，则210k -<，即12k <；若q 真，则2(31)40k ∆=+-≤，解得113k -≤≤， 由()p q ∧⌝是真命题，所以p 真且q 假，即12113k k k ⎧<⎪⎪⎨⎪<->⎪⎩或．所以，11(,1),32k ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭． 18．【解析】（Ⅰ）设回归直线方程为ˆˆˆybx a =+． 由题意可得， 3.4y =，6x =．所以，()()11()(3)( 1.4)(1)(0.4)10.63 1.6ˆ0.59119nn nni nn i xx y y bx x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===+++-∑∑，ˆˆ 3.40.560.4ay bx =-=-⨯=． 所以，利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为ˆ0.50.4yx =+． （Ⅱ）当4x =时，0.540.4 2.4y =⨯+=，于是，当销售额为4万元时，可以估计该零售店的利润额为2.4万元．19．【解析】从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动的所有方法种数为25C 10=． （Ⅰ）设事件A ：所选2人中恰有一名男生，则事件A 的基本事件个数为1132C C 6=，于是，由古典概型计算公式可得，63()105P A ==． 所以，所选2人中恰有一名男生的概率为35．（Ⅱ）设事件B ：所选2人中至少有一名女生，则事件B ：所选2人中没有女生，由题意可得，事件B 的基本事件个数为23C 3=．于是，由对立事件概率公式可得，37()1()11010P B P B =-=-=． 所以，所选2人中至少有一名女生的概率为：710． 20．【解析】设直线l ：32y x t =+，()11,A x y ，()22,B x y ．（Ⅰ）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故1232AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-， 所以l 的方程为3728y x =-．（Ⅱ）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故21y =-，13y = 代入C 的方程得13x =，213x =．故3AB =．21．【解析】（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400． （Ⅱ）有统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有141343135++++=人， 样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率350.570f ==， 故由频率f 估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率0.5P =．（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm 之间的人数为10，身高在170~180cm 之间的人数为4． 设事件A 表示“从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm 之间”，则26210C 2()1C 3P A =-=，或112644210C C C 2()C 3P A +==． 至少有1人身高在170~180cm 之间的概率为23． 22．【解析】（Ⅰ）在ABM △中，由余弦定理得：22121242cos 2d d d d θ=+-．又212cos 1d d θ=，整理得，12d d +=M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B 为焦点，长轴长为故点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=． （Ⅱ）假设存在直线l 满足题设，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与轨迹E 的方程2212x y +=联立，消去y 整理得：()2222124220k x k x k +-+-=， 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+．由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即21210x x y y +=． 又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦， 整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++．代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k =当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时1,2P ⎛⎝⎭、1,2Q ⎛- ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意．综上所述，所求直线l 存在，其方程为1)y x =-．。