第七章向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系、向量及其线性运算一、判断题1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。
（）2．任何向量都有确定的方向。
（）3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。
() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。
（）5．若a b a c, 则b c()6．向量a, b满足a=b，则a, b同向。
（）a b7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，ay，az }。
（）| a || a || a |8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。
(）二、填空题1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5）3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。
4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。
6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a=67．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。
以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。
8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。
则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。
三、选择题1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为（A）42( 3)252（ B）( 3)252（C）42( 3)2（D）42522．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2=（ A ） 1a b1 1 a （ D ） b1 （ B ） ab （ C ） b a22223．设有非零向量 a,b ，若 a b ，则必有（ A ） a b = a + b（ B ） a b = a b （ C ） a ba b（ D ） a ba b四、试证明以三点 A （ 4， 1， 9）、 B （ 10， -1，6）、 C （ 2， 4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
五、在 yoz 平面上求与三个已知点 A （ 3， 1， 2）、 B （ 4， -2， -2）、 C （ 0， 5，1）等距离的点 D 。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
七、设 A （ 4，2 ， 1）、 B （ 3， 0，2），求 AB 的模、方向余弦及与 AB 反向的单位向量。
八、已知 OA ={2 ，-3，6} ， OB ={-1 ， 2，-2} 。
OD 为 AOB 的平分线，在 OD 上求一长度为 342 的向量。
（二）向量的乘积运算一、判断题1． ( a b) 222a b（）22． a （ a b ） = a b（ ） 3．若 a b = a c 且 a 0 ，则 b c 。
（ ） 4．若 ab =1，则 ab =1（）2225． a b = a2a b b（ ） 6． a bb a（ ）7．若 a 、 b 、 c 满足 a b c, b c a ，则 a 、 b 、 c 两两垂直。
（）8．设非零向量 a,b 的方向角分别为1, 1,1和2 ,2,2则cos (a b ） = cos 1 cos2cos 1 cos2cos 1 cos 2（）二、填空题1．设 ( a b) =， a5, b 8, 则 a b =。
32．若 a 13, b19, a b 24 。
则 a b =。
2 ，且 a 1, b2 。
则 a b =。
3．若 ( a b )34．已知 a 3, b26, a b72 ，则 a b =。
a5．设6．设a { 4, 3,4},b { 2,2,1} ，则 Prj b = 。
a{ 2, 3,2}, b { 4,6, 4} ，则 (a b ) =。
7．设 a,b 为不共线向量，则当=时。
Pa 5b 与 Q 3a b 共线。
三、选择题1．设空间三点的坐标分别为 M （ 1， -3， 4）、 N （ -2， 1， -1）、P （ -3， -1， 1）。
则 MNP =（A ）、（B ）、3（ C ）、（ D ）、44 22．下列结论正确的是a a 2（ B ）、若 a b 0 则必 a 0或 b 0（A ）、a（ C ）、 a(b c ) ab ac（ D ）、若 a0 ，且 ab ac 则 bc3．设 a{ x,3,2}, b { 1,4,4}. 若 a // b ，则（ A ）、 x=0.5 y=6 (B) 、 x=-0.5 y=-6(C) 、 x=1 y=-7(D) 、 x=-1y=-3四、设 a { 2, 1,1}, b 1{1,3, 1} ，求与 a 、 b 均垂直的单位向量。
五、设向量a { 2,3, 1}、b {1, 2,3}、c { 2,1,2} , 向量d 与 a,b 均垂直，且在向量c 上的投影是 14，求向量 d.六、用向量证明：当a1a 2 a 3时， (a 12a 2 2 a 3 2 )(b 12 b 2 2 b 32 )(a 1b 1 a 2 b 2 a 3b 3 )2b 1b 2b 3七、设 AD 为ABC 中 BC 边上的高，记 BAc.BCa.证明：ac a cS2ABD2 a（三）平面及其方程一、填空题１．过点Ｍ （３，０，１）且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程。
２．三平面 x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3 的交点坐标是 。
３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是。
４．过点Ｍ １（４，０，－２）和Ｍ２（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是。
５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是。
６．当 l =,及 m=时，二平面 2x+my+3z-5=0 与 l x-6y-6z+2=0互相平行。
二、选择题１．平面 x -2z = 0 的位置是。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴（Ｄ）、通过ＯＹ轴２．下列平面中通过坐标原点的平面是 。
（Ａ）、x=1 (Ｂ )、 x+2z+3y+4=0 (C) 、 3(x-1)-y+(y+3)=0 (D) 、 x+y+z=13．已知二平面１ ：mx+y-3z+1=0 与２ ：７ x-2y-z=0 当 m ＝１２。
（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７（Ｄ）、－７４．二平面１： x + y - 11=0,2 : 3x +8=0 的夹角＝ 。
（Ａ）、（Ｂ）、／３（Ｃ）、 ／４（Ｄ）、 ／６2三、求通过三点（１，１，１） 、（－２，－２，２）和（１，－１，２）的平面方程。
四、求通过点Ｐ（２，－１，－１）、Ｑ（１，２，３）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0平面方程。
五、求通过Ｚ轴且与平面 2x+y-5 z-7=0 的夹角为／３的平面方程。
六、证明：二平行平面Ａx+By+Cz+D 1=0 , Ax+By+Cz+D 2=0 之间的距离公式：d ＝D 2 D 1B 2C 2A 2（四）直线及其方程一、填空题１．过点Ｐ（４，－１， ３）且平行于直线x2 2 y z 1的直线方程为。
35x 2 y 4 z 7２。
．过点Ｐ（２，０，－３）且与直线 {3 x5 y 2 z1垂直的平面方程为。
３．过点Ｐ （ 0，2，4）且与二平面 x + 2z = 1 和 y - 3z = 2 平行的直线方程是 。
4．当 m=时，直线x1y 2z与平面 mx+3y-5z+1=0 平行。
431x y 3z 05．直线 {x与 x-y-z+1=0 的夹角为。
y z 0x y 4z 12 06．点Ｐ（２，０，－１）关于直线 {2 x y 2 z 30 的对称点坐标为。
二、选择题1．下列直线中平行与XOY 坐标面的是。
x 1 y 2 z 3 （ C ） x 1 y 1 z（ A ）13214 x y 4x 1 2t （ B ） {x z 4 0（D ） y 3tz 42．直线 L 1： {x 2x 2 y y zz3 x 6 y 3 z 87 7 与 L 2： {2 x y z 0的关系是。
（A ）、L 1 L 2 （ B ）、 L 1//L 2 （ C ）、 L 1 与 L 2 相交但不垂直。
（ D ）、 L 1 与 L 2 为异面直线。
3．直线 L ：x3 y4z与平面： 4x-2y-2z=3 的关系是。
273（ A ）、平行 （ B ）、垂直相交 （C ）、 L 在 上（ D ）、相交但不垂直4．两平行线 xt 1, y2t 1, z t 与x2y 1 z1之间的距离是 。
121 （Ａ）、１（Ｂ）、２ （Ｃ）、２／３（Ｄ）、233三、设直线 L 通过 (1,1,1)且与L 1 ： 6x 3y2z 相交，又与 L 2 ：x 1 y2 z 3214垂直，求直线 L 的方程。
四、求通过点Ｐ（２，０，－１）且又通过直线x 1 y z 2的平面方程。
21 3五、求通过点Ｐ（２，１，０）且与直线x3 5 y z25垂直相交的直线。
22六、设直线Ｌ：x y 1 z 1与平面：2xyz 3112（１） . 求证Ｌ与 相交，并求交点坐标（２） . 求Ｌ与 交角。
（３） . 通过Ｌ与交点且与Ｌ垂直的平面方程。
（４） . 通过Ｌ且与垂直的平面方程。
（５） .Ｌ在 上的投影直线方程。
（五）空间曲线及其方程一、填空题y 5 x 1１．方程组 {y 2x3 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示。
2 2z 2 =0 与平面 z=3 的交线圆的方程是，其圆心坐标是，２．曲面 x +y -9圆的半径为。
x 2 y 2 1在ＹＯＺ面上的投影曲线为。
３．曲线( y 1)2( z 1)2x 2 1４．螺旋线 x=acos ,y=asin ,z=b 在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
５．上半锥面Ｚ＝x 2 y 2 （０z 1）在ＸＯＹ面上的投影为， 在ＸＯＺ面上的投影为，在ＹＯＺ面上的投影为。
xt 1的一般式方程为。
6． 曲线 yt 2z 2t 1二、选择题22yx 1１．方程{ y 4z 9在空间解析几何中表示 。
（Ａ）、椭圆柱面（Ｂ）、椭圆曲线（Ｃ）、两个平行平面（Ｄ）、两条平行直线x 22222y z2y yz z1２．已知曲线 { x y z a 在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为 { x 0，则 a ＝。
（Ａ）、－１ （Ｂ）、０ （Ｃ）、１（Ｄ）、２４．参数方程 x a cos 的一般方程是。