5、利用导数判断函数的单调性
一、选择题
1．函数y ＝x 3
的递减区间是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．不存在
2．函数f (x )＝x －e x 的单调增区间是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0，＋∞ )
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，1)
3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )
4．三次函数y ＝f (x )＝ax 3
＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( )
A ．a >0
B ．a <0
C ．a <1
D ．a <13
5．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a ) ≥0，则在(a ，b )内有( )
A ．f (x )＞0
B ．f (x )＜0
C ．f (x )＝0
D ．不能确定
6．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π 7．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的充要条件是( )
A ．b 2－4ac ≥0
B ．b 2－4ac ≤0
C ．b 2－3ac ≤0
D ．b 2－3ac ≥0
8．函数f (x )＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，24
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
9．已知f (x )＝－x 3
－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )·f (n )<0，则方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上
( )
A ．至少有三个实数根
B ．至少有两个实根
C ．有且只有一个实数根
D ．无实根
10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )
二、填空题
11．函数y ＝(x ＋1)(x 2
－1)的单调减区间为________．
12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．
13．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.
14．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．
三、解答题
15．求函数f (x )＝13x 3＋12
x 2－6x 的单调区间．
16．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f (x )的递增区间．
17．已知x ＞0，求证：x ＞sin x .
18．(2010·山东卷文，21)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x
－1(a ∈R )． (1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12
时，讨论f (x )的单调性．
解: (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.
又f (2)＝ln2＋2，所以y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程应为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.
(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2 x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)
①当a ＝0时，g (x )＝1－x ，x ∈(0，＋∞)，
有x ∈(0,1)，g (x )>0，f ′(x )<0，f (x )递减；
当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )递增；
②当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)[x －(1a
－1)]， (ⅰ)当a ＝12
时，g (x )≥0恒成立，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上递减； (ⅱ)当0<a <12时，1a
－1>1>0， x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )递减；
x ∈(1，1a
－1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )递增； x ∈(1a
－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )递减； ③当a <0时，由1a
－1<0， x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )递减；
x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )递增．
综上所述：
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增；
当a ＝12
时，f (x )在(0，＋∞)上递减； 当0<a <12时，f (x )在(0,1)上递减，在(1，1a －1)上递增，在(1a
－1，＋∞)上递减． DCDAAACCCD 11 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 12.[3，＋∞) 13.－32 －6 14. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞。