2
1 1
[F ](2)
2lA
2
1 1
[F ](3)
lA
2
1 1
➢ 对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:
[K]{} {F}
设结点1的约束反力为F1，则有:
➢ 整体结构平衡方程
3
EA 3
l 0
0
3 32 2
0
0 2 2 1 1
0 u1 101uuu423
F1
(
(
3
2 2
2
3 lA
2
2)lA
2
1 )lA
2
1 lA
2
划去节点1所对应的第1行、行1列 。
5 2 0
2 3 1
0 1
u u
2 3
1 u4
5 3 1
l 2
2E
➢ 解得结点位移
3 l 2
5 l 2
3l 2
u2 2 E u3 2 E u4 E
➢单元应变： u j ui
l
➢单元应力 E
[N
]
1[(x l
j
x)
0
0
(xi x)
0
（3）应变矩阵
0] （5-19）
[B] 1[1 0 0 1 0 0] （5-20）
l
（4）应力矩阵
[S] E [1 0 0 1 0 0] l
(5) 等价节点力
{F}e pl 1 0 0 1 0 0T
2
（5-21） （5-22）
(6) 单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，
➢ 离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。
➢ 单元刚度矩阵：
23
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
[k ](2)
2AE l
1 1
1 2
1
3
12
[k ](1)
3AE l
1 1
1 1
1
2
34
[k ](3)
AE 1 l 1
1 3
1
4
➢ 等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[F ](1)
3lA
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
1 0 0 1 0 0
0
00
0
0 0
[k ]e
EA 0 l 1
0 0
0 0
0 1
0 0 0 0
1
1
（5-17）
等效节点力
(x j x)
1
{Fp}e
xj xi
1 l
0 (xi
x)
pdx
pl 0 2 1
0
0
静力等效 （5-16）
3、空间杆单元（3D LINK8）
y
2
1
i
z
3
5
l
6 j 4
x
（1）单元坐标单元位移向量
e 1 2 3 4 5 6 T
（5-18）
（2）形函数
形函数
[N
]
1 l
[(x
j
x)
0 (xi x) 0]
（5-14）
应变矩阵
[B] [Bi
B
j
]
1 l
[1
0
应力矩阵
[S] E [1 0 1 0] l
1 0]
（5-15）
（5-16）
单元刚度矩阵
1 0 1 0
[k ]e
EA
0
0
0
0
l 1 0 1 0
0
0
0
0
[k ]e
EA 1 l 1
y
i· z
·x
j
5.2 杆单元
1、一维杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长
度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2 个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。
i·
ui
px
·j uj
x
l
LINK
单元结点位移向量
e
ui u j
单元结点力向量：
{F}e
Fi Fj
（1）位移模式和形函数
第五章 梁、拱、框架、桁架等，它们常可离
散成杆元和梁元。
○
○
○
○○
○
○
○
梁
○
拱
框架
桁架
○
○
○○
○
➢结构离散
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承 的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
➢坐标系
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。 对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部 坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并 且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样， 同类型单元刚度矩阵相同。
单元刚度矩阵仍式（1-33）推出
[k]e BT DBdv
（1-33）
v
对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，
故有：
[k]e A BT DBdx (5-11)
v
将式（5-8）代入上式，得
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
(5) 等效节点力
（5-12）
单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍
① 位移模式
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
（5-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj
确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得
u
(ui
uj
ui l
xi )
1[1 1]{ }e
l [B]{ }e
式中[B]为应变矩阵
[B] [Bi
B
j
]
1 l
[1
1]
（3）应力矩阵
由应力应变关系
E
将式（5-7）代入上式，得
（5-7） （5-8）
E[B]{ }e [S]{ }e
式中[S]为应力矩阵
[S] E [1 1] l
(4) 单元刚度矩阵
（5-9） （5-10）
➢单元轴力 N A
(1) u2 u1 7 l 2
l 8E
(2) u3 u2 l 2
l
E
(3) u4 u3 1 l 2
l 2E
2、平面桁架杆单元（2D LINK1）➢标看下成的局拉部压坐杆
y
2
1
i
l
4
j 3
x
（1）单元坐标单元位移向量
1
e
2
3
4
y
2 1
i
4 j 3 x
uj
ui l
x
a1
a2
（5-4）
② 形函数
将式（5-4）改写为下列形式
u [N ]{ }e
（5-5）
式中形函数[N]为
[N] [Ni
N
j
]
1 l
[(
x
j
x)
(xi x)]
（5-6）
（2）应变矩阵
一维铰接杆单元仅有轴向应变 du dx
将式（5-5）、（5-6）代入上式，得
上式也可写为
为以下形式
{F}e
T
[N ] pxdx
当分布力集度px为常数时，有
{Fpx }e
x xi
j
1 ( l
x(xj ixx))
px
dx
pxl 2
1 1
（5-13）
[N] [Ni
N
j
]
1[(x l
j
x)
(xi x)]
例5-1 一维拉杆
➢ 图示阶梯形直杆，各 段长度均为l，横截 面积分别为3A，2A， A，材料重度为γ， 弹性模量E。求结点 位移和各段杆中内力。
y
Y
xy
x
○
X
○○
○ ○
P
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。
➢ 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的
杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y
轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 ➢ 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。