有限单元法
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第三个黄金时代： 有限单元法的广泛应用。自1970年代开始,有限 元法被迅速应用到各领域。
钢结构接头的应力分析
汽车碰撞分析
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三、有限单元法的现状与发展趋势
1． 变分原理与数值方法 针对有限元发展需要而提出的变分原理的新形式，例如 分区势能、余能、混合能量变分原理，分区变分原理的退化 形式及其应用，含参数变分原理及其应用，压电复合材料结 构变分原理，基于应变梯度理论的细观力学变分原理。 2． 新型单元构造方法 对单元构造的现有模式作进一步开拓，如杂交元、混 合元、拟协调元、应变元、样条元、无限元、 高精度单元 （带转角元）、大单元、超（巨型）单元 ,子结构、土壤→ 结构→流体的相互作用等。 发展新的构造模式，如基于广义协调理论的广义协调元、 基于分区混合变分原理的分区混合元，理性有限元，基于四 边形面积坐标的四边形元，基于解析试函数的有限元等。
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连续问题一般都是通过数学方程式的运算和求 解获得精确解。但在实际工程中，可用的数学方法 通常使得能用连续化处理的问题极为有限，或者使 其过于简化。 相反，由于计算机的出现，使得求解离散问题 比较容易。 计算力学：是根据力学中的理论，利用现代电子计 算机和各种数值方法，解决力学中的实际问题的一 门新兴学科。它横贯力学的各个分支，不断扩大各 个领域中力学的研究和应用范围，同时也逐渐发展 自己的理论和方法。 包括：有限元单元法、有限差分法、边界元法等
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4．复杂深层问题 材料非线性和几何非线性有限元分析； 壳体结构屈曲稳定性分析； 塑性成型有限元分析； 撞击破坏过程数值模拟； 基于应变梯度理论的有限元法。 解的精度的研究：数值方法的误差估计、收敛 性、可靠性、自适应性和优化； 自适应有限元方法 。
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在学术界影响广泛的国内著作 钱伟长，变分法与有限元. 北京: 科学出版社, 1980 胡海昌，弹性力学的变分原理及其应用. 北京: 科学出版 社, 1981 朱伯芳，有限单元法原理与应用. 北京: 中国水利水电出 版社, 第1版1979, 第2版1998）是兼备科学性和实用性 的巨著。 龙驭球，有限元法概论. 北京: 高等教育出版社, 第1版, 1978, 第2版, 1991, 龙驭球，新型有限元引论. 北京: 清华大学出版社, 1992 等
2) 1943年，柯兰特（Courant）第一次假设饶曲函数在 一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单 线性函数。由于计算机尚未出现，这篇论文没有引 起应有的注意。 (1945年，世界上出现了第一台电子 数字计算机“ ENIAC” ，用于计算弹道。 1956 年， 晶体管电子计算机。1959年，集成电路计算机。）
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各种变分原理以及其对应的有限元
不同性质的单元对应于不同的变分原理。 （1）协调位移元（采用的位移插值函数在单元间精确协 调）——最小势能原理。 （2）非协调位移元（采用的位移插值函数在单元间不精 确协调）——分区势能原理。 （3）广义协调位移元（采用的位移插值函数在单元间广 义协调）——分区势能原理的退化形式。 （4）应力杂交元（采用应力试函数，满足平衡微分方 程）——最小余能原理。 （5）混合元（采用混合试函数，含位移、应力和应 变）——广义变分原理。 （6）分区混合元（部分单元采用位移试函数，其余单元 采用应力试函数）——分区混合能量原理。
矩阵位移法，并 利用计算机求解
1956年，Turner， Clough，Martin和Toop ， 刚架的矩阵位移法推广 用于弹性力学平面问题 作近似分析 有限单元法的刚度法
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有限单元法的刚度法
单元，结点
分析各单元的特性，得到物理 条件（节点力与节点位移关系） 利用在结点相交的平衡条件、 变形协调条件
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二、 三个黄金时代
第一个黄金时代： 1960年起。最重要的工作来自结构工程师，第 一次解决了诸如汽车、飞机、水坝等复杂结构的力 学分析。尽管当时有限元法的数学基础尚未完全建 立（尽管与今天相比,当时的成就十分有限），但该 方法获得了巨大成功。论文统计：1961年10篇、 1965年67篇、1968年303篇。
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常用的数值解法有下列几类： （1）有限差分法——将微分方程化为差分形式， 求近似解。 （2）加权残值法——将微分方程化为加权积分 形式，求近似解（加权残值法的五种常用做法是配 点法，子域法，加辽金法，最小二乘法，矩法）。 （3）有限单元法——将微分方程问题化为能量 驻值问题，采用插值函数，求近似解。 （4）边界元法——只在边界上进行离散。 常用的半解析法主要有：有限条法和有限元线 法、薄层法等方法。 其中应用最广泛的方法就是有限单元法。几乎可以 说，一切弹性力学问题都可以利用有限元法求解。
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3 ） 1955 年，德国斯图加特大学的 J.H. Argyris 教授 发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了 有限元方法的理论基础。 4 ）第一个尝试： 1956 年，特纳（ Turner ）、克拉夫 （ Clough ）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性 力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计， 系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达 式，并求得了平面应力问题的正确解答。
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有限单元法(Finite Element Method)(FEM)是计算 力学的重要分支，是一种将连续体离散化，以求解 各种力学问题的数值方法。 有限元方法的基本思想：将结构物看成由有限个人 为划分的单元组成的整体，以单元结点上的解代表 整体的解。它是一种化整为零、集零为整、化未知 为已知的方法。不同的学科，所求解的参数不同。 在计算力学中，主要有以下三种： ● 位移型：以结点位移为未知量。 ● 力型：以结点力为未知量。 ● 混合型：某些地方以结点位移为未知量，另 外一些以结点力为未知量。 我们主要就‚位移型‛有限元进行讲解。
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结构力学位移法
单跨超静定梁
利用已知的单跨超静定梁的内 力计算公式的成果（固定求固 端力，放松求单元的杆端力） 结点的平衡条件─附加约束上 的反力=0
建立求解未 知位移的平 衡方程组
w, x , y
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结构力学位移法
位移法：建立求 解未知位移的平 衡方程组
• 第一次命名： 1960 年，克拉夫（ Clough ），建立 在虚位移原理或最小势能原理的基础上。在处理 剖面弹性问题时，第一次提出并使用‚有限元方 法‛的名称
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O.C.Zienkiewize在他的“The Finite Element Method”一书中（参考书6），一开头便称： ‚人类大脑是有限的，以致不能一次就弄清周 围许多（自然存在的和创造出的）复杂事物的特性。 因此，我们先把整个系统分成特性容易了解的单个 元件或‘单元’，然后由这些元件重建原来的系统 以研究其特性，这是工程师、科学家甚至经济学家 都采用的一种自然的方法。许多经典的数学近似方 法以及工程师们用的直接近似法都属于这一范畴。‛ 因此，从这一意义上说确定有限单元法的准确 起源时间是困难的。尽管如此, 有限单元法从应用 意义上讲，它的发展始于20世纪60年代。
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3．疑难现象及破解对策 有限元学科发展中，还遗留一些疑难现象和问题，有的 长期未得到破解。这些尚待破解的疑难问题自然就成为关注 的焦点。例如 多种闭锁现象（剪切闭锁、薄膜闭锁、不可压缩闭锁）； 网格畸变敏感现象； 有的非协调元不收敛现象； 虚假零能模式现象； 解的晃动现象； 精度损失现象（位移元的应力，层合板的层间应力）； 应力奇点现象； 数值计算病态现象。
第1章 概论
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 有限单元法及其发展概况 有限元方法及解题步骤 单元分析 整体分析 按单元定位向量形成总刚度方程 约束处理及求解
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1.1.1 力学问题的解法
力学问题的求解方法可分为：解析法、数值 法、半解析法 解析法（连续、精确）：问题的求解可以得 到具体的数学表达式，可以计算任意位置的问题 的精确解答。如悬臂梁求挠度等。 数值法（离散、近似）：得不到具体表达式 ，只能得到某些离散点处的近似值。 半解析法：是将解析法和数值法结合起来形 成的一种方法。
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我国学者对有限单元法的贡献
我国数学家冯康等人从1960年前后开始，也创造了 系统化的有限元算法（1965年文“基于变分原理的差分 格式”）编写了程序，解决了当时国防和经济建设中的 一些重大课题，并奠定了数学理论基础。因此可以说， 有限元法是在欧、美和中国被独立发展的。 有限元及变分原理的研究领域是我国学者的研究强 项。胡海昌于1954年提出的弹性力学广义变分原理为有 限元法的发展提供了理论基础。冯康提出的基于变分原 理的差分格式实质上就是今天的有限元法。龙驭球提出 的分区和分项能量原理(1980)，分区混合有限元 (1982)， 样条有限元(1984)，广义协调元(1987)和四边形面积坐 标理论(1997)等，使有限元方法的分析能力和应用领域 得到很大提升。
建立求解各 结点位移(ui、 vi)的联立方 程
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