最简单的瞬变结构
几何不变结构的组成规律
(2) 两刚片规则 两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所
得结构是几何不变结构。
瞬变结构 两刚片连接规则
常变结构
几何不变结构的组成规律
(3) 三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构
是几何不变结构。
基本三角形结构 三刚片规则示意图
结构的自由度及其计算
平面混合结构的自由度计算 其计算过程比较复杂，主要原因在于必须先进行一些构件的 拆分，拆分完毕之后计算方式与桁架一致。 计算结果有三种可能： a. W＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。 b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。 c. W＜0 表明结构具有多余约束。 注意：结构的自由度W≤0是组成几何不变体系的必要条件， 但不是充分条件。为什么？
桁架和刚架的区别
桁架结构 平面桁架 空间桁架 杆件与杆件间为铰接 铰接点只传递力而不传递转矩 每根杆件均为二力杆 杆件不产生弯曲变形和弯曲应 力 有限元计算采用杆元（杆单元： bar）
桁架和刚架的区别
刚架结构 平面刚架 空间刚架 杆件与杆件间可理解为焊接 连接点可传递力也可传递转 矩 刚架有限元分析采用梁元 （beam） 可当作刚架的常见结构：高 压线塔；客车车身骨架；管 式摩托车车架；自行车车架； 长江大桥
将刚才已经建立的位移函数代入，则应变为
进一步的，应力为
其中，[B] 称为平面刚架梁单元的应变转换矩阵。
平面刚架梁单元的有限元方程
采用虚功原理进行推导： 假设梁单元的i，j 结点发生虚位移为
那么单元内会发生相应的虚应变为：
外力在虚位移上的功与内力在虚应变上的功相等：
上式为局部坐标下的平面刚架梁单元的有限元方程。
结构的分类与基本特征
a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯 一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形 状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余 部分都无内力产生。 f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余 部分的内力不变。 g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内 力不变。
平面刚架梁单元的刚度矩阵
根据习惯，那么单元刚度为
进行积分运算后得到
A：杆的横截面 面积； I：杆的横截面 对主轴的惯性矩
桁架杆单元的刚度矩阵
如果是桁架结构，那么矩阵形式将比较简单 平面桁架杆单元，每个单元自由度未知量只有两个节点位移
空间桁架杆单元，每个单元自由度未知量也只有两个节点位移， 但是由于空间性，所以每个节点位移会表现为3个分量
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的 位移协调性。
杆系结构单元的位移函数
桁架结构杆单元的位移函数 由于每根杆件均为二力杆，事实上刚才的
=0 =0 由单元结点位移，确定待定系数项
=0
=0
上式不仅是桁架结构中杆单元的位移函数，对于杆系结构中单 元的轴向位移状态，都是采用这个位移函数进行表示的。
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析示例 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
自由度为零，应是几何不变结构。
结构示意图
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位臵 在此二平行杆件延长线的无穷远处；
刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联， 虚铰位臵在F点； 刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联， 虚铰位臵在C点。 三铰可看成位于同一条直线上， 故此结构为几何瞬变结构。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设臵为一个单元。 c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面 近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。
杆系结构的离散
d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个 单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点 载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点 上的等效结点载荷。
平面刚架梁单元的应力应变
在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任 一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和， 其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为
y为梁单元任意截面上任意点至中性 轴(x轴)的距离。 弯曲应变计算示意图
得出平面刚架单元应变
平面刚架梁单元的应力应变
杆系结构的离散及荷载等效
杆系结构有限元中的坐标系
在进行有限元法计算中，由于涉及到对所有单元进行类似运算， 所以这些计算以单元自己的i-j为基准建立的局部坐标系是会 带来很大方便的。 为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立 一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为 整体坐标系、总体坐标系。
几何不变结构的组成规律
(1) 二元体规则 由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结 构称为二元体。二元体规则是指在一个几何不变结构上，由 增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角 形是最简单的几何不变结构。
铰接三角形
几何不变结构的组成规律
瞬变结构 一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一 旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为 无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变 结构在工程结构设计中应尽量避免。
造成几何可变的几种原因
结构的计算简图（力学模型）
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析 是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之 前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状 态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理 想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式: （1）结点： （2）支座： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ； ③ 固定支座 ；④ 定向支座 。
结构的分类与基本特征
按结构在空间的位臵分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构：长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构
按结构的自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ②超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
空间结构几何构造分析
规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连．且三链杆不在同一平 面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。
空间点与基础连接
瞬变结构
空间结构几何构造分析
规律2 一个几何不变结构（或刚体）与基础用六根即不平行也不相 交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结 构，且无多余约束。
空间刚架梁单元的刚度矩阵
当刚架结构扩展到了空间状态，则每个结点有6个位移分量， 其单元结点位移列向量
空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。
空间刚架梁单元的刚度矩阵
杆系结构单元刚度矩阵的性质
a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与 单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模 量E有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧 对称位臵上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定 理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理 意义。
第八章 杆系结构的有限单元法
结构几何构造的基本知识
结构几何构造的基本分类
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到 任意载荷作用时其形状和位臵没有发生刚体位移时，称之为几何 不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳 定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构 造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
超静定结构的 特征
结构的对称性及其利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位 移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截 面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 奇数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
奇数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的对称性及其利用
偶数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
结构的自由度及其计算
自由度：指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数 的数目，也就是确定该结构位臵时所需的独立参数的数目。 约束：指减少结构自由度的装臵，即限制结构运动的装臵。 具体包括：a. 支座链杆的约束；b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完全铰。 桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 则桁架的自由度W 为 平面桁架架结构梁单元的位移函数
轴向位移状态的表达和前面一样，现在 只考虑节点另外的四个位移分量，根据 材料力学，沿梁长各截面的转角为
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数的 多项式：
杆系结构单元的位移函数
刚架结构梁单元的位移函数 将其代回v(x)的表达式进行整理后
于是：
杆系结构的离散
由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单， 一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分为几个单元 )作为一个 单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。离散要点为：