第十章 电磁感应§10-1法拉第电磁感应定律一、电磁感应现象，感应电动势电磁感应现象可通过两类实验来说明： 1．实验1）磁场不变而线圈运动 2）磁场随时变化线圈不动2．感应电动势由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。

3．电动势的数学定义式定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即()⎰•=lK l d K ：非静电力ε （10-1）说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为⎰•=正极负极l d Kε表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功。

（2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：()⎰•=lK l d K ：非静电力ε（3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。

二法拉第电磁感应定律 1、定律表述在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。

数学表达式：dtd k i Φ-=ε 在SI 制中，1=k ，（S t V Wb :;:;:εΦ），有dt d i Φ-=ε （10-2） 上式中“-”号说明方向。

2、i ε方向的确定为确定i ε，首先在回路上取一个绕行方向。

规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。

在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据dt d i Φ-=ε计算i ε。

,0>Φ00<⇒>Φi dt d ε ,0>Φ00>⇒<Φi dt d ε 沿回路绕行反方向沿回路绕行方向:0:0<>i ε 此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。

楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。

说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表述。

（2）楞次定律是能量守恒定律的反映。

例10-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示，AB 边也可以左右滑动，设以匀速度向右运动，求回路中感应电动势。

解：取回路顺时针绕行，l AB =,x AD =,则通过线圈磁通量为BLx BS 0cos BS S B ===•=Φ由法拉第电磁感应定律有：⎪⎭⎫⎝⎛>=-=-=Φ-=ε0dt dx v Blv dtdxBldt d i “-”说明：i ε与l 绕行方向相反，即逆时针方向。

由楞次定律也能得知，i ε沿逆时针方向。

讨论：（1）如果回路为N 匝，则ϕ=ΦN （ϕ为单匝线圈磁通量）（2）设回路电阻为R （视为常数），感应电流dtd R R I i i Φ-==1ε在1t —2t 内通过回路任一横截面的电量为()()()()[]12t t t t t t i t t R1d R 1dt dtd R 1dtI q 212121ΦΦΦΦΦΦ--=-=-==⎰⎰⎰可知q 与（12ΦΦ-）成正比，与时间间隔无关。

例10-1中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。

可见该边就是回路电源。

该电源的电动势是如何形成的？或者说产生它的非静电力是什么？从图中可知，运动时，其上自由电子受洛仑兹力作用，从而B 端有过剩的正电荷，A 端有过剩的负电荷，形成了B 端是电源正极，A 端为负极，在洛仑兹力作用下，电子从正极移向负极，或等效地说正电荷从负极移向正极。

可见，洛仑兹力正是产生动生电动势的非静电力。

§10-2动生电动势一、产生动生电动势的非静电力产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力。

二．动生电动势i ε公式的导出一个电子受洛仑兹力为（10-3）（正电荷e 受洛仑兹力为-→f ）（10-4）由电动势定义，则动生电动势为：→→•K =⎰l d li ε→→→•⨯=⎰l d B v l )(→→→→•⨯==↓⎰ld B v v AB B A )(0边外其他没动，即除动生电动势公式（10-5）说明：（1）i ε的方向为沿)(⨯B v 在l d 上分量的方向。

0>i εi ε沿B A →方向，即点电势高；点比A B0<i ε点电势低。

点比方向，即沿A B A B i →ε（2）用→→→•⨯=⎰l d v li )(B ε可求出运动回路电动势。

用→→→•⨯=⎰l d v B Ai )(B ε可求出非闭合回路运动的动生电动势。

这时，AB 相当一个开路电源，其端电压与i ε在数值上相等，但意义不同：A -U U B 是单位正电荷从B 移到A时静电力作的功，i ε是单位正电荷从A 移到B 时非静电力（洛仑兹力）作的功。

三、动生电动势计算举例例10-2：用 →→→•⨯=⎰l d B v B A i )(εj 解例1解：整个回路的电动势即由AB 运动引起的动生电动势（其他部分)0=→v→l d 段产生的动生电动势为→→→•⨯=l d v d i )(B ε0cos →→→⨯=l d v B0cos sin 2dl v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→∏B dl vB 2sin ∏= vBdl =⇒⎰=i i d εε (i ε为标量，标量叠加)⎰=BA vBdl0>=vBl可知，点。

点电势高于方向，即沿A B B →A i ε（vBl i =ε就是中学中常用的公式。

） *如图所示，长为l 的细导体棒在匀强磁场中，绕过A 处垂直于纸面的轴以角速度ω匀速转动。

求?=AB i ε的 解：〈方法一〉：用→→→•⨯=⎰l d B v B Ai )(ε解（→l d 沿→AB 方向）段产生的动生电动势为：→→→•⨯=l d B v d i )(ε已知：→→⨯B v 与→l d 同向。

∴Bldl vBdl d i ωε==AB 棒产生的电动势为 ⎰=i i d εε →→→•⨯=⎰l d B v B A )( ⎰=lBldl 0ω221Bl ω=方向。

沿B →A ∴>i i εε0即B 比A 点电势高。

（→→→⨯l d B v i 在的方向为沿ε上分量方向）〈方法二〉：用dtd i Φ-=ε解设t=0时，AB 位于AB ‘位置，t 时刻转到实线位置，取AB ‘BA 为绕行方向（AB ‘BA 视为回路），则通过此回路所围面积的磁通量为→→•=ΦS B0cos BS =221l t B ω•=⇒dt d i Φ-=ε 221l B ω-=0<i ε， ∴i ε沿A →B →B →A '方向。

回路中只有AB 产生电动势∴ AB 段电动势值为221l B i ωε=i ε沿B →A 方向。

注意：⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=⎰→→B A εΦε可用在非闭合回路上。

是相对回路而言的。

l d B v dt d i i例10-4：如图所示，一无限长载流导线AB ，电流为I ，导体细棒CD 与AB 共面，并互相垂直，CD 长为l ,C 距AB 为a,CD 以匀速度→v 沿B →A 方向运动，求CD 中?=i ε解：段产生的动生电动势为→x d→→→•⨯=x d B v d i )(ε→B 垂直指向纸面 →→⨯∴B v 指向C D →方向， 即与→x d 反向。

→→⨯B v 大小为VB 。

dxxI v vBdxvBdx xd B v d i πμπε2cos 0-=-==•⎪⎭⎫⎝⎛⨯=∴→→→CD 产生的i ε为ala Iv dx xIvd l a aii +-=-==⎰⎰+ln 2200πμπμεε 上投影分量方向。

）在沿点电势高。

（点比即沿→→→⨯→∴<x d B v D C C D i i i εεε,,0 例10-5：如图所示，平面线圈面积为S ，共N 匝，在匀强磁场→B 中绕轴'OO 以速度ω匀速转动。

'OO 轴与→B 垂直。

t=0时，线圈平面法线→n 与→B 同向。

（1） 圈中?=i ε（2） 线圈电阻为R ，求感应电流?=i I解：（1）设t 时刻，→n 与→B 夹角为θ，此时线圈磁通量为：tNBS NBS S B N N ωθϕcos cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛•==Φ→→ 由法拉第电磁感应定律知：)(sin sin max 00i i i i NBS tt NBS dtd εωεωεωωε====Φ-=（2））max 0000(sin sin i i i ii I RNBS RI t I tRR I ======ωεωωεε§10-3 感生电动势 涡旋电场一、产生感生电动势的非静电力导体在磁场中运动时，其内的自由电子也跟随运动，因此受到磁力的作用，我们已经知道，洛仑兹力是动生电动势产生的根源，即是产生动生电动势的非静电力。

对于磁场随时间变化而线圈不动的情况，导体中电子不受洛仑兹力作用，但感生电流和感应电流的出现都是实际事实。

那么感生电动势对应的非静电力是什么呢？麦克斯韦分析了这种情况以后提出了以下假说：变化的磁场在它周围空间产生电场，这种电场与导体无关，即使无导体存在，只要磁场变化，就有这种场存在。

该场称为感生电场或涡旋电场。

涡旋电场对电荷的作用力是产生感生电动势的非静电力。

（涡旋电场已被许多事实所证实，如电子感应加速器等。

）说明：涡旋电场与静电场的异同点。

相同点：二者对电荷均有作用力。

不同点：（1）涡旋电场是变化磁场产生的，电力线是闭合的，为非保守场（)0≠•→→⎰l d E l涡。

（2）静电场是由电荷产生的，电力线是闭合的，为保守场（)0=•→→⎰l d E l涡。

二、感生电动势计算公式（→→=涡E K ） （10-6）（10-7）说明：法拉第建立的电磁感应定律的原始形式=i ε dtd Φ-只适用于导体构成的闭合回路情形；而麦克斯韦关于感应电场的假设所建立的电磁感应定律=i ε→→•⎰l d El涡=dtd Φ-，则闭合回路是否由导体组成的无关紧要，闭合回路是在真空中还是在介质中都适用。

这就是说，只要通过某一闭合回路的磁通量发生变化，那么感应电场沿此闭合回路的环流总是满足=i ε→→•⎰l d E l 涡 =dtd Φ-。

只不过，对导体回路来说，有电荷定向运动，而形成感应电流；而对于非导体回路虽然无感生电流，但感应电动势还是存在的。

三、涡旋电场强度及感生电动势计算例10-6：如图所示，均匀磁场→B 被局限在半径为R 的圆筒内，→B 与筒轴平行，0>dtdB，求筒内外？涡=→E解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场，其闭合的电力线是一系列同心圆周，圆心在圆筒的轴线处。

1）筒内P 点？涡=→E取过P 点电力线为闭合回路l ，绕行方向取为顺时针，可知→→•⎰l d E l 涡=dtd Φ- →→•⎰l d El涡=dl E l⎰涡=⎰涡涡dl E=r E π2•涡[]dtdB r BS dt dS B dt d dt d 20cos π==⎥⎦⎤⎢⎣⎡•=Φ→→⇒dtdB r r E 22ππ-=•涡 即 dt dBr E 21-=涡00〈涡E dtdB ∴> 涡→E 方向如上图所示，即电力线与l 绕向相反（实际上，用楞次定律可方便地直接判出电力线的绕行方向）。