两体质心公式与应用
1. 两体质心公式
2. 两体质心公式在静力学中的应用
3. 两体质心公式在动力学中的应用
1.
两体质心公式
如图1所示，质点系由质量分别是1m 和2m 、相距l 的两个质点构成，则其质心C 的位置
由公式
l b a a
b m m =+=21 (1.1)
确定。

图1 两体质心
2. 两体质心公式在静力学中的应用 4. 两体质心公式在动力学中的应用 例1
]
1[一个人从船的一头走到另一头，如人和船的重量分别是P 和Q ，船长为a 2。

若忽略水
的阻力，问船移动多少？
图2 船移动问题
解：如图1，设开始0t t =时，人、船和系统的质心分别在人C 、船C 和C 处，由(1) a Q
P P
CC +=
=∆船 (1) 当人由船的右端走到左端时(0t t =)，人、船的质心分别在人
C '、船C '处，若忽略水阻力的影响，及开始是系统是静止的，故系统质心C 点位置保持不变，于是
a Q
P P
C C +='=∆船
(2) 由(1)(2) 当人由船的右端走到左端时，船移动距离
Q
P Pl
a Q P P C C +=+=∆='22船船
(3) 如果船的质量分布不是关于中间对称的，(3)式仍然成立。

并且有：
命题1 如果两个物体开始静止，并水平方向受合力为零。

若重为P 的物体在重Q 物体上运动，相对位移为l ，那重Q 物体质心移动的距离为)/(Q P Pl +。

例2
]
1[三角木块B 放置光滑的水平面上，三角木块A 从B 的顶端自由地滑到底端，若B 的质
量是A 的三倍，问木块B 移动多少？
图3 三角木块自由下滑
解：当三角木块A 从B 的顶端自由地滑到底端时，其相对B 的位移为a b -，由命题1，B 的位移为4/)(a b -。

例3
]
1[如图4示浮动起重机举起质量kg m 20001=的重物。

设起重机质量kg m 200002=，杆
长m l 8=；开始时杆OA 与铅直位置成0
60角，水的阻力和杆重均略去不计。

当起重机杆OA 转到与铅直位置成0
30角时，求起重机的位移。

解：当杆OA 由与铅直位置成060角转至0
30角时，重物相对起重机的水平位移为 )30sin 60(sin 0
-l 由命题1，起重机的位移为
m l m m m 266.0)30sin 60(sin 002
11
=-+
图 4 浮动起重机 例4
]
1[质块A 与小球B 用一根无重连结，并将质块A 放置在光滑的水平面上，如图5。

若将杆
和小球转动一个角度，并由静止释放，试确定小球的运动轨迹。

已知质块A 和小球B 的质量分别为A m 和B m ，杆长为l 。

图 5 椭圆摆 解：设C 是系统的质心。

利用两体质心公式(1.1)，得
l m m m CB e B
A A
+=
= (1)
取过质块A 质心的水平线为x 轴， 取过初始时刻系统质心的铅直线为y 轴。

由于系统开始静止，系统质心C 始终在y 轴上。

由图5 ϕϕcos ,sin l y e x B B == (2)
上式消去ϕ，得
1)/11(2222=++l y l m m x B
A
B B (3)
故小球B 的轨迹是椭圆。

有趣是，当0/→A B m m 时，l e →，这时椭圆摆就变成了单摆了。

例5]1[ 电机外壳固定在水平基础上。

设电动机外壳和定子的质量为0m ，转子的质量为m 。

由于制造误差，转子质心O '偏离转动轴，偏心距e O O ='。

已知转子以角速ω转动。

求基础对电机的约束反力的主矢。

图 6 电机支座反力。