第十章 重 积 分第一节 二重积分的概念与性质习题A一．填空与选择1．比较()21DI x y d σ=+⎰⎰，()32DI x y d σ=+⎰⎰大小(1)若D 由x 轴，y 轴与直线1=+y x 围成，则在D 上(2) 若D 由22(2)(1)2x y -+-=围成，则在D 上2．设⎰⎰=I Dd y x f ,),(σ若(),1f x y x y =++，区域D 为01x ≤≤，02y ≤≤,则在D上该积分的估计值为 ．3．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，21=+y x ，1=+y x 围成，若 ()71ln DI x y dxdy =+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，()72DI x y dxdy =+⎰⎰，()73sin DI x y dxdy =+⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ．（A ）321I I I <<； （B ）123I I I <<； （C ）231I I I <<； （D ）213I I I <<．二． 设),(y x f 在闭区域2222:1x yD a b +≤上连续，求证：00(,)lim(0,0)Da b f x y d f abσπ++→→=⎰⎰习题B 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x的符号.第二节 二重积分的计算法（一）利用直角坐标计算二重积分习题A一．填空与选择 1．交换积分次序._____________________),(10=⎰⎰y ydx y x f dy2．交换积分次序2222202(,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy =+=⎰⎰⎰⎰若(),f x y xy =，则I = ． 3．_______________222=⎰⎰-xy dy e dx，10sin yx dy dx x⎰___________=． 4．交换二次积分⎰⎰10xx2dx f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )．(A)⎰⎰10yy 2dy f(x,y)dx (B)⎰⎰1y y2dy f(x,y)dx(C) ⎰⎰10x x2dy f(x,y)dx (D) ⎰⎰1y y2dx f(x,y)dy二．化二重积分(,)DI f x y dxdy =⎰⎰为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x =>围成．并计算22,Dx dxdy y ⎰⎰三．计算下列二重积分1． cos()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中D 是顶点分别为()0,0，(),0π和(),ππ的三角形闭区域．2． 2,2.Dydxdy D y x y x ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及直线所围成的区域3．⎰⎰+Dy x dxdy e ，其中D 是由||||1x y +≤所确定的闭区域．四．计算⎰⎰⎰⎰+yyxy yxy dx e dy dx e dy 121212141．五．求三个坐标平面与平面1x =，1y =，236x y z ++=围成的立体Ω的体积． 六．计算,)1(dxdy xy I D⎰⎰+= 其中.44:22≤+y x D七．计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x习题B 一．设D 是xOy 平面上以()11，．()11，-．()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+Ddxdy y x xy sin cos 等于（ ）． （A ）⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ； （B ）⎰⎰12D xydxdy ；（C ）()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）0．二．若函数),(y x f 在矩形区域1010≤≤≤≤y x D ，：上连续，且()1,),(2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰y x f dxdy y x f xy D ，则=),(y x f ________________． 三．计算二重积分：2y De d σ⎰⎰其中D 是第一象限中由直线y x =和曲线y =所围成的闭区域．四．利用二重积分证明：若)(x f 在],[b a 上可积，则有⎰⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba b a dx x f a b dx x f )()()(22五．求⎰⎰++Dd y x yf x ，σ)](1[22其中D 由x y =及1,1=-=y x 所围成，且f 连续．（二）利用极坐标计算二重积分 习题A 一．填空1．__________)()()(040212212⎰⎰⎰⎰==+-ρθπd d dy y x dx xx2．⎰⎰⎰⎰=)()()()(1)(),(2ρθd d dy y x f dx x3．把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是由曲线22x a y -=，2x ax y -=及x y -=所围成的闭区域()0>a ； ________________________________________________________ 二．利用极坐标计算：1．D⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域：22224ππ≤+≤y x ；2．dxdy x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由122=+y x ，422=+y x 及0=x ，x y =所围成的闭区域的第一象限部分．3．,D其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域．4． 求二重积分⎰⎰Ddxdy x ，其中x y x D ≤+22:三．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域. 习题B一．求⎰⎰++Ddxdy y x 2)1(,其中D 为422≤+y x ．二．求⎰⎰+Ddxdy by a x ,)(2其中D 为222a y x ≤+． 三．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x ，其中x y x D 222≤+：．第三节 三重积分习题A一．填空与选择1．化(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1) 由双曲抛物面z xy =及平面01=-+y x ，0=z 所围成的闭区域： ____________________________ (2) 由曲面22222x z y x z -=+=，所围成的闭区域：_______________ 2．已知)(z f 为连续函数，空间闭区域Ω由z y x ≤+22及21≤≤z 所确定 则⎰⎰⎰Ωdv z f )(＝（ ）（A ）⎰212)(dz z f z π （B ）⎰212)(2dz z f z π （C ）⎰21)(2dz z f π （D ）⎰21)(dz z zf π3．设22()I f x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是曲面z =和z =围成的空间区域．（1）将三重积分I 化为球坐标系下的三次积分（不作计算）_______________（2）将三重积分I 化为柱坐标系下的三次积分_______________二．计算3(1)dxdydzI x y z Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0x =，0y =，0z =，x y +1=+z 所围成的空间域．三．计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z ，其中Ω是由锥面z =与平面)0,0(>>=h R h z 所围成的闭区域．四．计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω由平面0=z ，1=y ，y z =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域．五．利用柱面坐标计算下列三重积分．1．求dV y x ⎰⎰⎰+Ω22,其中Ω是由平面曲线⎩⎨⎧=-=042x yz 绕z 轴旋转而成的抛物面与xoy 面所围成的空间闭区域．2．计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x ，其中Ω是由曲面22y x z +=及4=z 所围成的空间区域．六．利用球坐标计算三重积分． 1．⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 222，其中Ω是由球面2222x y z ++=所围成的闭区域．2．,⎰⎰⎰Ωdxdydz z 其中Ω由不等式2222)(a a z y x ≤-++，)0(222>≤+a z y x 所确定． 习题B一．选用适当的坐标系计算下列三重积分．1．⎰⎰⎰Ωdxdydz xyz ，其中Ω是由226y x z --=，22y x z +=所围成闭区域．2．dxdydz z y x z ⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，)(322y x z +≥所确定．3．⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222x y z R ++≤ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分．4．计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+d x d y d z z x ，其中Ω是由曲面22y x z +=及221y x z --=所围成的空间区域．二．dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面y =，0z =，)0(>=a az ，0=y 所围成的闭区域．三．曲面22z z x y ==+所围成立体的体积．四．计算dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω++2)(, 其中Ω是由抛物面22y x z +=和球面2222=++z y x 所围成的空间闭区域.第四节 重积分的应用习题A一．占有区域为D 平面薄片对于直线0:=++c by ax L 的转动惯量的公式为_________________．二．求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的曲面面积．三．求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分的面积．四．求由θcos 2=r 与θcos 16=r 所围均匀薄片的形心．五．求密度为222),,(z y x z y x ++=ρ．球心在原点半径为3的上半球体的质心及对于任一直径边的转动惯量．测 试 题一 选择与填空（每题4分，共40分）1．⎰⎰⎰⎰+=+=DDdxdy y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中2)1()2(22≤-+-y x D ：的大小 关系为:（ ）(A) 21I I = (B) 21I I > (C) 21I I < (D) 无法判断2．dv z y x f r r ⎰⎰⎰+→Ωπ),,(1lim 30=（ ），2222)()()(:r c z b y a x ≤-+-+-为其中Ω，且),,(z y x f 在Ω上连续．(A) ),,(c b a f (B) 3),,(4c b a f π (C) 3),,(4c b a f (D) ),,(c b a f π3．区域⎩⎨⎧≤≤≤≤⎩⎨⎧≤≤≤≤+=242,21,2121y x x D x y x x D D D D ：：,按Y 型区域应为（ ） (A) ⎩⎨⎧≤≤≤≤221y x y y (B) ⎩⎨⎧≤≤≤≤y x y y 21 (C) ⎩⎨⎧≤≤≤≤221x y x x (D) ⎩⎨⎧≤≤≤≤x y x x 21 4．已知,1,0,0:,1:1≤+≥≥≤+y x y x D y x D ⎰⎰+=Dd y x I ，σ)(⎰⎰+=1)(D d y x J σ，则（ ）(A) J I = (B) J I 2= (C) J I 3= (D) J I 4=5．已知Ω为z z y x 2222≤++,下列等式错误的是( ) (A) 0)(22=+⎰⎰⎰dv z y x Ω(B) 0)(22=+⎰⎰⎰dv z x y Ω(C)0)(22=+⎰⎰⎰dv y x z Ω(D) 0)(2=+⎰⎰⎰dv z y x Ω6．设),(y x f 连续,且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 由1,,02===x x y y 所围成,则)(),(=y x f(A) xy (B) xy 2 (C) 1+xy (D) 81+xy7．⎰⎰--22221),(x x xdy y x f dx 在Y 型区域下的二次积分为_______________． 8．将⎰⎰+x xdy y x f dx 32220)(转换为极坐标形式下的二次积分______________．9．223[1()]___,1,1Dx yf x y d D y x x y σ++===-=⎰⎰其中由,所围成，且f 连续． 10．_____________)(2202220=+⎰⎰-x ax ady y x dx ．三．完成下列各题（1—4题7分，5—8题8分，共60分）1．求⎰⎰++Ddxdy y y x )(22,其中D 为422≤+y x 与0222≥++x y x 的公共部分．2．计算二重积分{}⎰⎰-Dy x d eσ22,max ,其中⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x D ： ．3． 求由θsin 2=r 与θsin 4=r 所围均匀薄片的形心．4 ．求dv y ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω为由曲面y z y x 2222=++及y z x =+22所围成的空间闭区域．5．求由曲面z z y x =++2222)(所围立体的体积． 6．已知)(t f 为可导函数,且4)0(,0)0(/==f f ,求极限dv z y x f t t ⎰⎰⎰+++→Ωπ)(1lim 22240,其中Ω： 2222t z y x ≤++ 7．计算二重积分⎰⎰++≤++Dy x y x D d y x 1:)(22，其中σ8．计算二重积分[],122⎰⎰++Dd y x xy σ 2:22≤+y x D 其中,[]x 表示x 的整数部分，且.0,0≥≥y x考 研 真 题1．（00数一）设有一半径为R 的球体，0P 是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比（比例常数0k >），求球体重心位置． 2．（02数一）计算22max(,)xy De dxdy ⎰⎰，其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤．3．（03数一）设函数()f x 连续且恒大于零，22222()()222()()()(),()()()t D t ttD t f xy z dvf x y d F t G t f x y d f x dxσσΩ-+++==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中2222222(){(,,)},(){(,)}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤，(1) 讨论()F t 在区间(0,)+∞内的单调性；(2) 证明当0t >时，2()()F t G t π>．4．（04数一）设()f x 为连续函数，dx x f dy t F tyt )()(1⎰⎰=，则(2)F '等于（ ）(A) 2(2)f ；(B) (2)f ； (C) (2)f -； (D) 0．5．（04数二）设函数()f u 连续，区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（ ）(A) 11()dx f xy dy -⎰；(B) 22()dy f xy dx ⎰；(C) 2sin 2(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰； (D) 2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰．6．（05数一）设22{(,)0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数，计算二重积分22[1]Dxy x y dxdy ++⎰⎰．7．（05数二）设区域22{(,)4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰dxdy y f x f y f b x f a D)()()()(（ ）(A) ab π；(B)2ab π； (C) ()a b π+； (D) 2a bπ+． 8．（05数二）计算二重积分221Dx y d σ+-⎰⎰，其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤．9．（06数一二）设(,)f x y 为连续函数，则14(sin ,cos )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）(A) 0(,)x f x y dy ；(B) 00(,)f x y dy ；(C) 0(,)yf x y dx ；(D) 0(,)f x y dx ．10．（06数一二）设区域22{(,)1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰． 11．（07数二）设二元函数2,1(,)12x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中}2:),{(≤+=y x y x D ． 12.（08数二）设函数)(u f 连续，dxdy (),(D2222⎰⎰++=yx y x f v u F ），其中D 由园122=+y x ，）（1222>=+u u y x ，x 轴及直线v x y tan =所围成的第一象限部分，则=∂∂uF（ ）（A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ）)(u vf （D ）)(u f uv13.（08数二）求二重积分{}dxdy 1,max D⎰⎰xy ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D ． 第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分习题A一．填空与选择1．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则⎰=+L ds y x 2)23(（ ）．(A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 122．设L 为下半圆周21x y --=，则_______)(222=+⎰ds y x Ln ．3．____________=⎰ds x L,其中L 为x y =与2x y =所围区域的整个边界曲线．二．计算ds x L⎰2,其中L 为圆周：422=+y x ．三．计算,)(22ds y x L⎰+其中L 为曲线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=)20(π≤≤t ． 习题B一．已知曲线L 的极坐标方程为(0)2r πθθ=≤≤，L 上任意一点处的线密度为()ρθ=二．计算（1）,2ds z L ⎰（2）ds y x L⎰+)(,其中L 为圆周：⎩⎨⎧=++=++04222z y x z y x ．第二节 对坐标的曲线积分习题A 一．计算⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()(，其中L 为222a y x =+（按逆时针方向绕行）． 二．计算22sin cos y x Le xdx e ydy +⎰，式中L 是从点(0,0)O 经点(0,1)A 到点(1,1)B 的折线段．三．计算dy y x dx y x L)()(2222-++⎰，其中L 为曲线x y --=11上由点0=x 到点2=x 的部分．四．计算Γ-+++⎰Γ,)1(dz y x ydy xdx 为点)4,3,2(A 至点)1,1,1(B 的空间有向线段.五．求质点在力j xy i x F-=2的作用下沿着曲线L t y t x sin ,cos ==从点)0,1(A 移动到点)1,0(B 时所作的功. 习题B一．计算dy x dx y a L+-⎰)2(，其中L 为摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上对应t 从0到π2的一段弧．二．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ,使沿该曲线从点O 到点A 的积分dy y x dx y L)2()1(3+++⎰的值最小．三．计算⎰Γ+-ydz dy dx ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里的A ，B ，C 依次为点()0,0,1，()0,1,0及()1,0,0第三节 格林公式及其应用习题A一．填空与选择1．设L 为369422=+y x ，则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________2．___________=-⎰Lydx xdy ，其中100:22=+y x L 的顺时针方向．3．已知存在),(y x u 使dy y xy y x dx y xy x du )33()35(222324+-+-+=,则),(y x u ________________= 4．设曲线积分⎰+Ldy x yf dx xy )(2与路径无关，)(x f 具有连续导数，且0)0(=f ，则______)(=x f5．设dy yx by x dx y x y ax 2222++--++为某一函数),(y x u 的全微分，则_____),(=b a 6．设G 为一单连通开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导，命题⎰=+LQdy Pdx a 0:，其中L 为G 内任一条分段光滑闭曲线，命题:b 在G 内P Q y x∂∂=∂∂处处成立 ，命题:c Qdy Pdx +为某一二元函数的全微分．则命题c b a ,,满足（ ）（A ）c b a ⇔⇔ （B ）c b a ⇒⇔ （C ）c b a ⇔⇐ （D ）c b a ⇒⇐ 7．已知曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可微，则应满足的微分方程是_____________________．二、设L 是由12==y x y 及所围成的区域D 的正向边界 求⎰+++L24233)()dy y x x dx y x xy （．三．求⎰⋂-+-AOx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中ABO 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22．四、计算dy y x dx xy x L)()2(422+++⎰,其中L 是2sinxy π=上从点()0,0到点)1,1(的一段弧．五、证明：dy y x x y dx x y y x )sin cos 2()sin cos 2(22-+-为某一个二元函数),(y x u 的全微分，并求出一个这样的函数),(y x u ． 六、确定λ的值,使曲线积分dy y y x dx xy x B A)56()4(42134-++-⎰λ与路径无关，并求当点A 、B 分别为)0,0(、)2,1(时曲线积分的值． 习题B 一、计算⎰-+-=Lx x dy y y e dx y e I )(sin )cos 1(,其中L 为从()0,0O 到()0,πA 的正弦曲线x y sin = ．二． 计算,sin 3)3(32dy y y x dx xe y x L x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎰ 其中L 为沿摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin 从O (0, 0)到)2,(πA 的一段三．设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且,0)0(=ϕ计算.)()1,1()0,0(2⎰+dy x y dx xy ϕ 五．计算曲线积分,22⎰+-L y x ydx xdy （1）L是圆周1)1()1(22=-+-y x 的正向； （2）L 是曲线1=+y x 的正向．六．设满足积分0)()]([ln /L /=+-⎰dy x f dx xyx f x ，其中存在二阶连续导数，0)1()1(='=f f ，是半平面内任意光滑闭曲线．试求．七．已知dx x y dy y x x L )(23]2)([22ϕϕ+-⎰在全平面上与路径无关，其中)(x ϕ具有一阶连续导数，并且L 是起点为()0,0，终点()1,1为的有向曲线时，该曲线积分值等于41，试求函数)(x ϕ.九． 设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有,),(2),(2),1()0,0()1,()0,0(⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx 求).,(y x Q第四节 对面积的曲面积分习题A一．计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限的部分．二．计算dS y x ⎰⎰∑+)(22，其中∑是锥面z 及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面．三．计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.四．计算下列积分，其中∑为球面2222a z y x =++． 1．dS z ⎰⎰∑22．dS z y x ⎰⎰∑++2)(习题B一．计算⎰⎰∑++dS z y x z 2224，其中∑是椭球面22222=++z y x 的上半部分．二．设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).第五节 对坐标的曲面积分习题A一．取曲面∑：2222a z y x =++的内侧，将曲面积分zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑转化成对面积的曲面积分____________________,其值为__________ 二．计算⎰⎰∑++dy dx z dx dz y dz dy x 222，其中∑为222y x a z --=的上侧．三．计算yzdzdx dydz xy xzdxdy ++⎰⎰∑，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，y x ++1=z 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．四．计算222x dy dz y dz dx z dx dy ∑++⎰⎰，其中∑是过()0,0,1A ，()0,1,0B ，()1,0,0C 三点的平面位于第一卦限的部分，取上侧． 习题B一．利用两类曲面积分的关系计算⎰⎰∑++3r zdxdyydzdx xdydz ，其中222z y x r ++=，∑为上半球面222y x R z --=下侧．二．当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?第六节 高斯公式 通量与散度习题A一．填空与选择1．设∑由分片光滑的所围成闭曲面的外侧，则∑所围的体积V ＝（ ）（A ）⎰⎰∑++xdxdy zdzdx ydydz 31 （B ）⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31（C ）⎰⎰∑++ydxdy xdzdx zdydz 31 （D ）⎰⎰∑++ydxdy zdzdx xdydz 312．已知∑为向量场A 中一张有向闭曲面的内侧，则⎰⎰⋅∑dS A =Ω⎰⎰⎰　_____dv ．3．向量场j xy x i y y x )()(A 2332-++=→的散度为___________二．计算⎰⎰∑-dx dz zx y )(2，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =，a z =所围成的立体的表面的外侧．三．计算⎰⎰∑+dy dx yz dz dy xz 24，其中∑是球面2222a z y x =++外侧的上半部分)0(>a ．四．设有向量场z j y i x 333++=及闭曲面∑ ：2222a z y x =++，求A 从内穿出∑的通量．五．计算⎰⎰∑++dy dx xy dx dz z x )(22，其中∑为曲面224x z y +=-在平面xoz 右侧部分的外侧．六．设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，又设Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V ，证明：⎰⎰=++-∑V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x )1(2222．习题B一．计算曲面积分()()⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．二．求⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 之值，式中∑为介于平面1=z 与5=z 之间的那一部分圆柱面122=+y x 的外侧．三．利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x 其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.四．求向量场k z j y i x r++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度习题A 一．填空1．向量场→→→+++=k z x j ye i xy A z )1ln(22在点)0,1,1(P 的散度与旋度_____=→A div ，rot ________________=A2．div grad =++-)2,2,1(222)(z y x __________________二．计算曲线积分⎰Γ++dz x dy z dx y 222，其中Γ为球面1222=++z y x 与柱面x y x =+22 ()0≥z 的交线，从x 轴的正向看去为逆时针方向．三设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ，div(grad u )，rot(grad u )． 习题B计算222()()()ABI x yz dx y zx dy z xy dz ⋂=-+-+-⎰，其中⋂AB 为螺线φc os =x ，y =φsin ，φ=z 上从点()0,0,1到点()π2,0,1的弧段．测 试 题一 ．选择填空（每题3分,共15分）1． 已知曲面∑的方程为2222a z y x =++，则dS z y x ⎰⎰∑++)(222＝（ ）(A) 0 (B)42a π (C) 44a π (D) 46a π 2． 已知2)()(y x jy i ay x A +++=→→→为某一二元函数的梯度，则=a （ ）(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) 23． 已知4:,4:,222222222=++≤++++=z y x z y x z y x r ∑Ω,⎩⎨⎧=++=++04:222z y x z y x Γ,且)(r f 连续，那么下列等式错误的是（ ）， （A ）()(2)f r dV f dV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（B ）dS f dS r f ⎰⎰⎰⎰∑∑=)2()(（C ）ds f ds r f ⎰⎰ΓΓ=)2()(（D ）⎰⎰∑++3r zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 814．已知∑为z z y x 2222=++,下列等式错误的是( ) (A) 0)(22=+⎰⎰∑dS z yx (B)0)(22=+⎰⎰∑dS z xy(C)0)(22=+⎰⎰∑dS y x z (D) 0)(2=+⎰⎰∑dS z y x 5．设曲线L 是任意不经过0=y 的区域D 内的曲线，为使曲线积分()()⎰+-+Laa dy y x y x dx y x y x 222222与路径无关，则=a （ ）． （A ）21-； （B ）31-； （C ）25； （D ）23．二 ．填空（每题3分,共15分）1．_____2=⎰-dy e Lx ,其中L 为305322=+y x 的逆时针方向．2．div grad =++)(ln 222z y x __________________3．设L 为椭圆422=+y ax ，则→→→-++=j y x i y x F )7()43(按L 的顺时针方向运动一周所作的功为π6,则______=a4．设为位于原点处的点电荷所产生的静电场，∑为介于1=z 到2=z 之间的圆锥面222y x z +=的下侧，那么，E 穿过∑的电通量为______________． 5．已知),,(z y x f u =具有二阶连续偏导，那么grad rot (_______)=u 三 ．完成下列各题（每题6分,共30分）1．22,:1,1L xdx ydyL x y x y +≤≤+⎰边界的逆时针方向； 2． 求半径为R 均匀球壳（)1=ρ对于球心的转动惯量．3．求⎰⎰+++++∑dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,(3[]),,(2[]),,([，其中∑为3=-+z y x 在第Ⅴ卦限的下侧．4．计算积分⎰+Lds y x 22，x y x L 2:22=+．5．计算dy y x y xy dx y x y x e L x 2222222cos 2+-++-⎰-，其中L 为圆周222a y x =+的顺时针方向．四．完成下列各题（每题10分,共40分） 1．已知)('x Φ连续，且()()010=Φ=Φ，计算⎰⋂-Φ=AMBx e y I )([+dx y ] dy e y x ]1)('[-Φ其中⋂AMB 是以线段AB 为直径的上半圆周，)0,0(A ，)1,1(B ． 2．计算22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy∑-+-⎰⎰，式中∑是由xoy 平面上的曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转面，又曲面法向量与x 轴正向的夹角大于2π． 3．计算⎰⎰∑+++++dy dx ay z dx dz ax y dz dy z a x )()()(232323，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧．4．求证：53108)3(a dS a z y x π≥+++⎰⎰∑)0(>a ，其中∑为球面022222222=+---++a az ay ax z y x ．考 研 真 题1．（00数一）曲面2222321x y z ++=在点(1,-2,2)的法线方程为 ． 2．（00数一）设2222:23(0)S x y z a z ++=≥，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）(A) 14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰；(B) 14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰；(C) 14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰； (D) 14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰．3．（00数一）计算曲线积分,422⎰+-L y x ydxxdy 其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(1)R >取逆时针方向．4．（00数一）设r =(1,2,2)()div gradr -= ． 5．（01数一）设对于半空间0x >内任意光滑有向封闭曲面S ，都有0)()(2=--⎰⎰∑zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x ，其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x ． 6．（01数一）计算⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )3()2()(222222，其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向． 7．（01数一）设有一高度为()(h t t 为时间）的雪堆，在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-(设长度单位为cm ，时间单位为小时)，已知体积的减少速度与侧面面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？ 8．（02数一）设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有连续的一阶导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记⎰-++=L dy xy f y yxdx xy f y y I ]1)([)](1[1222(1) 证明曲线积分I 与路径L 无关； (2) 当ab cd =时，求I 的值． 9．（05数一）已知平面区域{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的边界，试证：(1) ⎰⎰-=---Lx y Lx y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin ；(2)⎰≥--Lx ydx ye dy xe2sin sin 2π．10．（04数一）设L 为正向圆周222x y +=在第一象限的部分，则曲线积分2Lxdy ydx -⎰的值为 ．11．（04数一）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dxdz z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．12．（05数一）设Ω是由锥面z =与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的整个边界外侧，则xdydz ydxdz zdxdy ∑++=⎰⎰ ．13．（05数一）设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++L yx xydydx y 2222)(ϕ的值恒为同一常数． (1) 证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有⎰=++L y x x y d ydx y 022)(22ϕ；(2) 求函数()y ϕ的表达式．14．（06数一）设∑是锥面z =(01)z ≤≤的下侧，则23(1)xdydz ydxdz z dxdy ∑++-=⎰⎰ ．15．（06数一）设在上半平面{(,)0}D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续的偏导数，且对于任意的0t >都有2(,)(,)f tx xy t f x y -=．证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有,0),(),(⎰=-Ldy y x xf dx y x yf ．16．（07数一）设曲面:1x y z ∑++=，则⎰⎰∑=+__________)(dS y x ．17．（07数一）设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数）过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）(A) (,)f x y dx Γ⎰； (B) (,)f x y dy Γ⎰；(C) (,)f x y ds Γ⎰； (D) (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰18．（07数一）计算曲面积分23I xzdydz zydxdz xydxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为取面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧．19．（08数一）设曲面∑是224y x z --=的上侧，则____2=++⎰⎰∑dxdy x xdzdx xydydz20（08数一）.计算,)1(22sin 2⎰-+Lydy x xdx 其中L 为x y sin =上从点)0,0(到点。