重积分测验题一、选择题（每小题4分） 1、设⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=DDDdxdy y x I dxdy y x Idxdy y x I )(,)(,)ln(3221，其中D 是由直线1,21,0,0=+=+==y x y x y x 所围成的区域，则321,,I I I 的大小顺序为_________. A 、123I I I << B 、321I I I << C 、231I I I << D 、213I I I << 2、设⎰⎰=121sin ydx x dy I ，则I 等于___________.A 、)1cos 1(21- B 、1cos 1- C 、1sin 1+ D 、积不出来 3、设,),(),(1010⎰⎰⎰⎰-=xDdy y x f dx dxdy y x f 则改变其积分次序后应为_________.A 、⎰⎰-110),(dx y x f dy xB 、⎰⎰-xdx y x f dy 101),( C 、⎰⎰11),(dx y x f dy D 、⎰⎰-ydx y x f dy 101),(4、设0,:22221≥≤++Ωz R z y x 及0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x 则___. A 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xdv xdv B 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214ydv ydvC 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214zdv zdv D 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=214xyzdvxyzdv5、Ω是由曲面1,0,,22===+=z y x y y x z 在第一卦限所围成的区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=__________.A 、⎰⎰⎰+-111222),,(y x y ydz z y x f dx dy B 、⎰⎰⎰+-11220222),,(y x x xdz z y x f dy dxC 、⎰⎰⎰+-1122222),,(y x y ydz z y x f dx dy D 、⎰⎰⎰+11022),,(y x ydz z y x f dx dy二、填空题（每小题4分） 1、由二重积分的几何意义得到=⎰⎰≤+14322y x d σ2、二重积分⎰⎰Dxydxdy 的值为__________,其中.10,0:2≤≤≤≤x x y D3、设区域D 是122≤+y x 与x y x 222≤+的公共部分，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标系下的累次积分__________________________. 4、设,0,4:22≥≤+y y x D 则二重积分=⎰⎰dxdy y xD)sin(23_______________.5、交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy ___________________三、计算题（每小题9分）1、计算二重积分⎰⎰+Ddxdyy x)(22，其中D 是由曲线2x y =与直线x y =所围成的区域。

2、⎰⎰--Ddxdy y x )4(22，其中4:22≤+y x D 。

3、计算二重积分⎰⎰-1102xydye dx 。

4、dy y x x dx x⎰⎰+-022101。

5、计算dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中0,:2222≥≤++Ωz R z y x 。

6、求曲面z y x =+22，4:22=+y x D 及xoy 平面所围成的立体体积。

四、证明题（本题6分）设),(y x f 是连续函数，证明：⎰⎰⎰---=ax a m yx a m a dx x f e x a dx x f e dy)(0)(0)()()(其中m a ,为常数，且.0>a第二部分一、选择题（每小题3分，共15分）1．设区域D 是221x y +≤在第一，四象限部分，(,)f x y 在D 上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ B ）（A ）1101(,)dx f x y dy -⎰⎰；（B ）110(,)dy f x y dx -⎰；（C ）12(,)dx f x y dy ⎰；（D ）1202(,)d f r rdr ππθθ-⎰⎰。

2．累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰又可写成（ C ）形式。

（A ）11(,)dx f x y dy ⎰⎰；（B ）1(,)dy f x y dx ⎰；（C ）1(,)dx f x y dy ⎰；（D ）1(,)dy f x y dx ⎰。

3．若已知2(sin )1dx xf y dy ππ=⎰⎰，则20(cos )f x dx π=⎰（ D ）（A ）2π；（B ）2π；（C ）24π；（D ）24π。

4．设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列（ B ）等式成立。

（A ）(,)(,)bddbaccadx f x y dy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰；（B ）(,)(,)bddbaccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；（C ）()()()()(,)(,)b x x b ax x adx f x y dy dy f x y dx φφϕϕ=⎰⎰⎰⎰（D ）()()()()(,)(,)b x b y ax ay dx f x y dy dy f x y dx φφϕϕ=⎰⎰⎰⎰。

5．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则（C ）（A ）124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ）124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

二、计算题（每小题6分，共30分）1．计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 是以(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，。

解：Dxdxdy ⎰⎰12231222010122333(3)222x x x x xdx dy xdx dy x dx x x dx -=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

2．计算(||||)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为：||||1x y +≤。

解：1(||||)2||8DDD x y d x d xd σσσ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1:01,01D x y x ≤≤≤≤-）111488(1)3xxdx dy x x dx -==-=⎰⎰⎰。

3．计算D，其中D ：222(01)x y a a +≤<≤。

解：用极坐标2220000a Dd πθππ===⎰⎰⎰⎰22200(arcsin 1)a a a ππ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰。

4．将三次积分1111(,,)dx f x y z dz -⎰⎰化为柱面坐标系下的三次积分。

解：21001(cos ,sin ,)rd rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰。

三、计算222()x my nz dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中2222:,,x y z a m n Ω++≤为常数。

解：以原点为中心的区域，由对称性有所以222()x my nz dxdydz Ω++⎰⎰⎰222x dxdydz m y dxdydz n z dxdydz ΩΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、（8分）计算由圆柱22x y ax +=所围成的柱体被球面2222x y z a ++=所截的立体的表面积。

解：由对称性知，整个表面积是上半部分的表面积的2倍。

22[]A A A A ==+上上侧上顶而上顶的方程为z有z z x y ∂∂==∂∂其中D 为圆柱在xOy 上投影22x y ax +≤，所以cos 222222022[[1|sin |]2sin (2)a a d a d a ad a πππθππθθθπθθπ--==-=-=-⎰⎰⎰；又上后侧A 上后侧的方程为y =0y y x z∂∂==∂∂，由对称性，有3222aaadx a ===⎰⎰。

所以2222[2(2)]2A a a a ππ=+-=。

五、（8分）证明：由,,()x a x b y f x ===以及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的立体对x 轴的转动惯量（密度为1μ=）为4()2bx aI f x dx π=⎰，其中()f x 为连续的正值函数。

()f x ，设cos ,sin y r z r θθ==，则曲面的柱坐标方程为()r f x =。

4412()()42bba a f x dx f x dx ππ==⎰⎰。

六、（8分）在底半径为R ，高为H 的圆锥体上，拼加一个同半径共底的半球，要使得整个立体的重心落在球心上，求R 和H 的关系（设立体的密度为μ）。

解：建立坐标系原点在球心，它们共同的底为xOy 面。

由对称性，立体重心落在z 轴上，其中1zdvz z dv MdvμΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

半球迷方程为zz H ，则在柱坐标系下22220(3)012RHr HRR zdv d rdr R H ππθ-Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而H =。

七、（8分）曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分，求这两部分的体积比。

解：位于抛物面内侧部分的球体记作1V ，其体积为2233001137[2]2[2]6d a r rdr ar r dr a a a πθππ==-+=⎰，则位于抛物面外侧的球体的体积3321427(2)36V a V a ππ=⋅-=，所以12:37:27V V =。

八、（8分）湖泊体积及平均水深的估算。

椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似。

假定湖面的边界为椭圆22221x y a b+=，若湖的最大水深为max h ，则椭球正弦曲面由下列函数给出：其中22221x y a b+≤，现要求湖水的总体积V 及平均水深。

解：设D ：22221x y a b+≤是湖面的椭圆区域，湖水的总体积为由于被积函数与区域D 的特征相同，适合于推广的极坐标来计算，作代换平均湖水深度为max max 2|(,)|4[1]42[1]Df x y dxdyabh h h Sab ππππ-===-⎰⎰。