a b, c 0 ac bc （3）乘法单调性：
a b, c 0 ac bc （4）同向相加性： a b, c d a c b d a b 0, c d 0 ac bd （5）同向相乘性：
1 1 （6）倒数性质：a b, ab 0 a b
2 2
三、常用的基本不等式
2

*
ab 当且仅当a b 0时取等号 2 a, b R , ab 2

且可推广： abc a , b,c R , 3 abc 仅当a b c 0时取等号 3 且进一步： a R , a1 a2 an n a a i 1 n n 称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数 且变形为： 2 2 a b * 1 a , b R, ab 当且仅当a b时取等号 2
（7）乘方开方性质：
a b 0 a n b n , n a n b n N * , n 1
（8）含有绝对值不等式的性质
a b ab a b
且可推得：
a1 a2 an a1 a2 an
注意等号成立的条件 →同号或异号
注：不等式性质均为充分非必要条件
Ex：已知 a, b, c R , 且不全相等
ab bc ac lg lg lg lg a lg b lg c 求证： 2 2 2

Ex:已知 a , b, c R ，求证：
a b c a b b c a c abc(a b c )
1 1 1 Ex：已知 a b c ，求证： ab bc ac
2
Ex:已知 a, b R , a b, 求证：a a bb (ab)

2 1 2 2 1 2 1 2

ab 21 2ຫໍສະໝຸດ a b ( ) ( ) a b Ex:已知 a, b R , 求证： b a
9 13 求 2a 3b的范围. , 2 2
注：不等式性质应用于比大小、求范围, 性质的使用会使范围扩大。
1 a, b R, a b 2ab 当且仅当a b时取等号 ab ab 当且仅当a b 0时取等号 2 a, b R ,
1 1 x , y 0, 1, 则 x 2 y 的最小值 3 2 2 6、 x y
x
y
值为 3 2 3 。 。
3、已知
2 3 2 x 0, y 0 ,则 xy 的最小值 6 x y
1 1 4、已知 xy 0, x 3 y 1, 则 的最小值 4 2 3 。 x y 7 3 2 1 x, y 0, 2 x 3 y 4, 则 的最小值 4 5、 。
Ex:已知：a, b R , a b 1 求证：3 3 4
a b

2.基本不等式求最值
注：和、积、常数形式转化求最值（范围）→基本 不等式，1的“妙用”。 充分非 a 1 必要 条件； a 是对任意的正数 x，均有 x 1 的 1、 x 4 2、设
x 0,
则
1 y 3 3 x 有最 大 x
不等式的性质、证明 和基本不等式
一、两实数比大小的基本方法 →作差法
即等价关系：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a b, b c a c
a b ac bc （2）加法单调性：

a, b, c R , a b c 1 Ex:已知：
1 1 1 求证： 9 a b c

a, b, c R , Ex:已知：
1 1 1 9 (a b c )( ) 求证： ab bc ca 2

注：有和、积、常数形式等条件→基本不等式
Ex： ABC ，求证： 1 1 1 1 cos A cos B cos C ( ) 2 a b c a b c
Ex：给出下列命题，其中假命题是（1 2 4）
1 1 （1）若a b,则 （2）若a b,且k N * ,则a k bk ; a b
（3）若ac bc ,则a b
2 2
a b （4）若c a b 0,则 ca ca
Ex：判断下列各题中A与B的充分必要关系 a 2 a b 4 a, b R
4 4 4 2 2 2 2 2 2
Ex:已知 a, b, c R , 求证：
a b b c c a 2(a b c )
2 2 2 2 2 2

a, b, c R , a b c 1 Ex：已知：
1 1 1 求证：( a 1)( b 1)( c 1) 8
2
四、不等式的应用
1.不等式证明：
1.比较法: (1)作差比较法; (2)作商比较法. 2.综合法: 由条件到结论
3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x y x y 与 2 x y 0 ，比较： Ex：已知： 2 x y x y
2
2
的大小.
Ex：比较 x 与 2 x 的大小。
(1) A : b 2

B: ab 4
1 1 (2) A : a b


B:a b 0
(3) A : 3 a 3 b

B :a b
B: ab a b (4) A : a b a b
Ex：已知 1 a b 3, 2 a b 4,