erf(0) = 0 erf(1) = 1
1-erf(x) = erfc(x)
erfc( )=0, erfc(0)=1 erfc(x)为补余误差函数。
用 C C0 作纵轴， x 为横轴作图
Cs C0
2 Dt
12
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
x/
由， C C0 1 erf ( x )
2）边界条件（某空间上的已知值）：
① 规定某界面的浓度；
② 规定某界面的化学反应速度；
③ 将对流传质作为边界条件。
9
例1 在1273K时，用CO CO2混合气体对低碳钢（wC 0.1）% 进行渗碳，设钢板内
部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 wC 1.27%。求渗碳6小时后钢铁表
面下 0.3102 m处的碳浓度wC。
已知： DC 3 10 10 m2。.s 1
x 解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。
C
2C D
t
x 2
起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。
t 0
0 x
C C0
边界条件：①扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变，
即
x0
即
x0 0t
②当 x ， 0 t ，
C Cs C C0 。
将上述已知条件代入，解方程得：
C C0 1 erf ( x )
Cs C0
2 DCt
11
erf(x)称为高斯误差函数，
erf (x) 2 x ex2dx
0
1-erf(x)称为补余误差函数。 误差函数的性质：
Hale Waihona Puke erf(-x) = -erf(x)
（3–5）可简写为
C D2C t
当组分向三维空间扩散时，则有
C D(2C 2C 2C )
t
x2 y 2 z 2
（直角坐标系）
C
2C D(
1 C
1
2C 2C )
t
r 2 r r r 2 2 z 2
（圆柱坐标系）
C D[( 1 . (r 2 C )
1
. (sin C )
1
2C .]
0 t C Cs
②当 x ，
，0 t 。 C C0
将上述已知条件代入，解方程得：
C C0 1 erf ( x )
Cs C0
2 DCt
10
例1 在1273K时，用 CO CO2 混合气体对低碳钢（wC 0.1%） 进行渗碳，
设钢板内部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度wC 1.27% 。求渗
t
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2
（球坐标体系）
求解三维扩散方程非常复杂，所以一般在制定实验方案时，近似地安排成一 维扩散，在特定边界条件下解（3–5）式一元二阶微分方程。
7
菲克第二定律成立的条件
① 无扩散引起的对流传质；
② 扩散体系内无化学反应；
③ 为常数。
适用于固体或静止流体中的扩散。
扩散介质中小体积单元如图所示 截面1进入体积单元的扩散流
x
x dx
J2
J1
J x
dx
截面2流出的扩散流
C J1 D x
J2
J1
J x
dx
假设：扩散过程无化学反应，那么扩散进入体积单元的量减去流出体积单元的量 等于体积单元内物质的积累量。
以 A dy.dz代表体积单元的截面积，
则
(J1
J2)A
在 x dx 处 A Ax .dydz xdx A Axdy.dz x
故在方向上A的净流出速度： nAx .dydz xdx nAx .dydz x
A在微分单元内的累积速度： A .dxdydz
设
A
dt 为单位体积单位时间内由于化学反应产生的A量，则A产生速度
为： A .dxdydz 。
2
质量守恒原理 • [体系内的积累 ]=[通过体系边界的净流入量]
稳态扩散
当达到稳态时，
故
，D
2C x 2
0
即
C 0 t
D C 常数 x
J D dC D C D C C 0
dx
x
x
8
菲克第二定律的应用 菲克第二定律：
C
2C D
t
x 2
已知条件：1）初始条件（时间上的已知值）：
t=0时，
CA CA0
t=0时， CA f (x)
t=∞时， CA f (x)
+ [体系内的净生成量] • 根据物理化学基本原理推导出来的所有模型，都
是以上式表示的原理为基础。 • 上式对质量、动量、能量都适用。
3
根据质量守恒原理，有：
n Ax .dydz
xdx
n Ax .dydz
x
A dt
dxdydz
Adxdydz
0
dxdydz
两边同时除以
，则有：
n Ax dx
xdx
n Ax dx
Cs C0
2 DCt
x
得知欲求时间t的扩散浓度，须先求出2
值。
x
0.3 10 2
1.18
DC t 的值，再由图得
2 DCt 2 31010 6 3600
C C0 Cs C0
C C0
查图得，Cs C0
0.45
x
A dt
A
0
即
dnAx x
A dt
A
0
x
n Ax
A dt
A
0
同样可推导在三维方向上：
x
n Ax
y
n Ay
z
n Az
A t
A
0
简写成
n A
A t
A
0
称为传质微分方程。
同理，对于以摩尔通量表示的形式为：
N A
C A t
A
0
4
§3.1.2 菲克第二定律
dy
2
J1
D
C x
1
dz
碳6小时后钢铁表面下0.3102 m处的碳浓度wC 。 已知： DC 3 10。10 m2 gs1
x 解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。
C 2C
D
t
x 2
起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。
t 0
0 x C C0
边界条件：①扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变，
第三章 传质微分方程及扩散传质
§3.1 传质微分方程和菲克第二定律 §3.2 伴有非均相反应的扩散 §3.3 伴有均相化学反应的扩散
化学反应动力学（第一章）—研究方法 一维扩散传质（第二章）—菲克第一定律
1
§3.1 传质微分方程
§3.1.1 传质微分方程推导：
dy
2 1
dz
x
x dx
A通过微分体积表面x处 dy.dz 表面的量，
C t
.dx.A
（3–1）
因为扩散流随变化，故
J2
J1
J x
dx
（3–2）
将（3–2）代入（3–1），得
J C （3–3）
x t
根据菲克第一定律
J D C x
代入（3–3）得
C
(D
C ) x
t
x
（3–4）
6
当D为常数，即不随扩散距离、浓度变化时，有
C
2C D
（3–5）
即为菲克第二定律。 t
x 2