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河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题含答案

河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试理数试卷 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )A .B .C .D .2.如图,在正方体1111ABCD A BC D -中, ,E F 分别为棱BC ,1BB 的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是( )A .1AAB .11A BC . 11AD D .11B C3.在空间中,设,m n 为两条不同的直线,αβ,为两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A .若//m α,且//αβ,则//m βB .若,,m n αβαβ⊥⊂⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,且//αβ,则m β⊥D .若m 不垂直与α,且n α⊂,则m 不必垂直于n4.如图, O A B '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图,则OAB ∆的周长为( )A.10+.10+.125.若正四棱锥(底面为正方形,且顶点在底面的射影为正方形的中心)的侧棱长为45︒,则该正四棱锥的体积是( ) A .23 B .43C. 3 D.36.已知正ABC ∆的三个顶点都在球心为O ,半径为3的球面上,且三棱锥O ABC -的高为2,点D 是线段BC 的中点,过点D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为( ) A .154π B .4π C. 72πD .3π 7.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A .48π+B .48π- C. 482π+ D .482π-8.已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -;中, ,,E F M 分别是棱1,,AB AD AA 的中点,又,P Q 分别在线段11A B ,11A D 上,且11A P AQ x ==,01x << ,设平面1MPQ =,则下列结论中不成立的是( )A .l //平面ABCDB .l AC ⊥C.平面MEF 与平面MPQ 不垂直 D .当x 变化时, l 不是定直线9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的表面积为( )A .23πB .43π C. 3π D .4π10.如图,等边ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知A ED '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( )A .动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B .恒有平面A GF '⊥平面BCED C.三棱锥A EFD '-的体积有最大值 D .异面直线A E '与BD 不可能垂直11.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上,球O的体积为3V =球,则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( ) A.10 B.5C. 5.512.在底面为正三角形的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111ABC A B C -中,2AB = ,13AA =,点D 为棱BD 的中点,点E 为,A C 上的点,且满足1=mECA E (m R ∈),当二面角E AD C --的余弦值为10时,实数m 的值为( )A .1B .2 C.12D .3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,点A 到平面1A BD 的距离为 .14.在三棱锥A BCD -中,侧棱,,AB AC AD 两两垂直, ABC ACD ABD ∆∆∆、、的面积分别为A BCD -的外接球的体积为 . 15.如图所示,三棱锥A BCD -的顶点,,BCD 在平面α内,4,CA AB BC CD DB AD ======若将该三棱锥以BC 为轴转动,直到点A 落到平面α内为止,则,A D 两点所经过的路程之和是 .16.在正方体1111ABCD A BC D -中(如图),已知点P 在直线1BC 上运动. 则下列四个命题:①三棱锥1A D PC -的体积不变;②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变; ③二面角1P AD C --的大小不变;④M 是平面1111A B C D 内到点D 和1C 距离相等的点,则M 点的轨迹是直线11A D . 其中正确命题的编号是 .(写出所有正确命题的编号)三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 如图,O 是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形, C 为底面圆周上一点.(Ⅰ)若弧BC 的中点为D ,求证://AC 平面POD ; (Ⅱ)如果PAB ∆面积是9,求此圆锥的表面积与体积.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形,且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童的组合体中1111,AB AD A B A D ==.棱台体积公式:)(13V S S h =',其中,S S '分别为棱台上、下底面面积,h 为棱台高.(Ⅰ)证明:直线BD ⊥平面MAC ;(Ⅱ)若111,2,AB A D MA ==111A A B D -的体积3V =,求该组合体的体积.19. 如图1,在Rt ABC ∆中, 60ABC ∠=︒,AD 是斜边BC 上的高,沿AD 将ABC∆折成60︒的二面角B AD C --,如图2.(Ⅰ)证明:平面ABD ⊥平面BCD ;(Ⅱ)在图2中,设E 为BC 的中点,求异面直线AE 与BD 所成的角. 20. 在长方体1111ABCD A BC D -中,,,E F G 分别是1,,AD DD CD 的中点,2AB BC == ,过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体1111ABCD A BC D -,且这个几何体的体积为403.(Ⅰ)求证://EF 平面111A B C ; (Ⅱ)求1A A 的长;(Ⅲ)在线段1BC 上是否存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直,如果存在,求线段1A P 的长,如果不存在,请说明理由.21. 如图,四棱锥S ABCD -中, //,AB CD BC CD ⊥ ,侧面SAB 为等边三角形,2AB BC ==,1CD SD ==.(Ⅰ)证明:SD ⊥平面SAB ;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成的角的大小.22. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AD ⊥平面1A BC ,其垂足D 落在直线1A B 上.(Ⅰ)求证:1BC A B ⊥;(Ⅱ)若P 是线段AC上一点,2AD AB BC ==,三棱锥1A PBC -的体积为3,求APPC的值.试卷答案一、选择题1-5: BDCAB 6-10: AADBD 11、12:AA 二、填空题14.15. 16.①③④ 三、解答题17.解:(Ⅰ)∵AB 是底面圆的直径, ∴AC BC ⊥. ∵弧BC 的中点为D , ∴OD BC ⊥. 又,AC OD 共面, ∴//AC OD .又AC ⊄平面,POD OD ⊂平面POD , ∴//AC 平面POD .(Ⅱ)设圆锥底面圆半径为r ,高为h ,母线长为l , ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形,∴1,h l =由21=292ABP S r h r ∆⨯⨯==,得3r =,∴229(1S mrl r r r ππππ=+=+=表,2193V r h ππ==.18.解:(Ⅰ)由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱,AD ∴⊥平面MAB又MA ⊂平面MAB ,AD M A ∴⊥ ,又M A AB ⊥, , AD AB A AD =,AB ⊂平面ABCD ,MA ∴⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,M A BD ∴⊥ .又AB AD =,∴四边形ABCD 为正方形,BD AC ∴⊥,又 , MA AC A MA =,AC ⊂平面MAC ,BD ∴⊥平面MAC . …………………6分(Ⅱ)设刍童1111ABCD A B C D -的高为h , 则三棱锥111A A B D -体积1122323V h =⨯⨯=⨯⨯,∴h =故该组合体的体积为221111(1223236V =⨯++=+=.19.解:(Ⅰ)因为折起前AD 是BC 边上的高, 则当ABD ∆折起后,,AD CD AD BD ⊥⊥,又CD BD D =,则AD ⊥平面BCD , 因为AD ⊂平面ABD , 所以平面ABD ⊥平面BCD .(Ⅱ)如图,取CD 的中点F ,连接EF ,则//EF BD ,所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角(或补角).连接1,6,3EF AD CD DF ====,在Rt ADF ∆中,21AF ==, 在BCD ∆中,因为,AD CD AD BD ⊥⊥, 所以BDC ∠为二面角B AD C --的平面角, 故60BDC ∠=︒,则222228BC BD CD BD CDcos BDC =+-⋅∠=,即BC =从而12BE BC ==2222BD BC CD cos CBD BD BC +-∠==⋅, 在BDE ∆中,222213DE BD BE BD BE BDC =+-⋅∠=,在Rt ADE ∆中,5AE == ,在AEF ∆中, 222122AE EF AF cos AEF AE EF +-∠==⋅ , 所以异面直线AE 与BD 所成的角为60︒. 20.解:(Ⅰ)连接1AD ,在长方体1111ABCD A BC D -中,1111//,AB DC AB DC =,∴四边形11ABC D 是平行四边形,∴11//AD BC . ∵,E F 分别是1,AD DD 的中点, ∴1//AD EF ,则1//EF BC ,又EF ⊄平面111,A BC BC ⊂平面11A BC A ,则//EF 平面11A BC . 同理//FG 平面11A BC . 又EFFG F =,∴平面//EFG 平面11A BC . (Ⅱ)∵111111111111111104022223233ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V AA AA AA ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==,∴14AA =.(Ⅲ)在平面11CC D D 中作11DQ C D ⊥交1CC 于Q , 过Q 作//QP CB 交1BC 于点P , 点P 即为所求的点. 证明如下:∵11A D ⊥平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D , ∴111C D A D ⊥, 又11//,//QP CB CB A D ,∴11//QP A D , 又∵1111A D DQ D =, ∴1C D ⊥平面11A PQD , 又1A P ⊂平面11A PQD , ∴11A P C D ⊥.∵111Rt DC Q Rt C CD ∆∆∽, ∴1111C Q D C CD C C=, ∴11C Q =.又∵//PQ BC ,∴1142PQ BC ==. ∵四边形11A PQD为直角梯形,且高1DQ =∴12A P ==.21.解:(Ⅰ)取AB 的中点E ,连接,DE SE , 则四边形BCDE 为矩形, 所以2DE CB ==,所以AD =,因为侧面SAB 为等边三角形, 2AB = ,所以2SA SB AB ===,且SE = 又因为1SD =,所以222222,SA SD AD SE SD ED +=+=, 所以,SD SA SD SE ⊥⊥.又SA SE S =, 所以SD ⊥平面SAB . (Ⅱ)过点S 作SG ⊥DE 于点G , 因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥=,所以AB ⊥平面SDE .又AB ⊂平面ABCD , 由平面与平面垂直的性质, 知SG ⊥平面ABCD ,在Rt DSE ∆中,由··SD SE DE SG =,得12SG =,所以SG =. 过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ,连接BH , 则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角, 因为//,CD AB AB ⊥平面SDE , 所以CD ⊥平面SDE ,又SD ⊂平面SDE , 所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中,由1CD SD ==,求得SC =在SBC ∆中,2,SB BC SC ===所以122SBCS ∆==, 由A SBC S ABC V V --=,得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=,即11122332AH =⨯⨯⨯,解得AH =所以7AH sin ABH AB ∠==故AB 与平面SBC所成角的正弦值为7. 22. 解:(Ⅰ)∵AD ⊥平面1,A BC BC ⊂平面1A BC , ∴AD BC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥平面ABC , ∴1A A BC ⊥, ∵1A AAD A =,∴BC ⊥平面11AA B B , ∵1A B ⊂平面11AA B B , ∴1BC A B ⊥.(Ⅱ)设PC x =,过点B 作BE AC ⊥交AC 于点E , 由(Ⅰ)知,BC ⊥平面11AA B B ,∴BC AB ⊥,∵2AB BC ==,∴AC =BE=∴PBC S ∆=12·BE PC=x . ∵AD ⊥平面1A BC ,其垂足D 落在直线1A B 上, ∴1AD A B ⊥,∴1BD =. 又∵1A A AB ⊥.∴1Rt ABD Rt A BA ∆∆∽, ∴1BD ADAB AA =,∴12AA=∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -∴33x =,解得2x =,即2PC =,∴2AP =3AP PC =.。

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