第1页（共11页）2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1．（5分）集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +a ＞0}，U ＝R ，若M ∩∁U N ＝∅，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤12．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23)B ．(−23，0)C ．(−23，23)D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)3．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD →=12BC →，则AD →•BD →的值为（ ） A ．−52B ．52C ．−54D ．544．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n +3b n ﹣1＝4b n 2（n ≥2）n ∈N +，则log 2b n ＝（ ） A ．n ﹣1B ．2n ﹣1C ．n ﹣2D ．n5．（5分）已知直线ax +y ﹣1＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y +a ）2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或−1 B ．﹣1 C ．1或﹣1 D ．16．（5分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+b 2＝2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．0B ．1C ．2013D ．2014第2页（共11页）7．（5分）已知点M （a ，b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2+y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx ﹣ay ＝r 2，那么（ ） A ．l ⊥m 且m 与圆C 相切 B ．l ∥m 且m 与圆C 相切C ．l ⊥m 且m 与圆C 相离D ．l ∥m 且m 与圆C 相离8．（5分）若圆x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0与圆x 2+y 2＝1关于直线y ＝x ﹣1对称，过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．y 2﹣4x +4y +8＝0 B ．y 2﹣2x ﹣2y +2＝0 C ．y 2+4x ﹣4y +8＝0D ．y 2﹣2x ﹣y ﹣1＝09．（5分）平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →•AD →=−1，点M 在边CD 上，则MA →•MB →的最大值为（ ） A ．2B ．2√2−1C ．5D ．√3−110．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．[√22，√32] B ．[√22，1） C ．[√22，√3−1] D ．[√33，√63] 11．（5分）已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√2+12C ．√2+1D ．√5−112．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对任意x ∈R ，f （2+x ）﹣f （2﹣x ）＝0；③当x ∈[0，2]时．f （x ）＝x ；④函数f（n ）（x ）＝f （2n ﹣1•x ），n ∈N *，若过点（﹣1，0）的直线l 与函数f （4）（x ）的图象在[0，第3页（共11页）2]上恰有8个交点．则直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．（0，811） B ．（0，118） C ．（0，819） D ．（0，198）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知sin(2A +π6)=12，b ＝1，△ABC 的面积为√32，则b+c sinB+sinC的值为 ． 14．（5分）已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →+OB →+OC →=0→，OA →⋅OB →=OB →⋅OC →=OC →⋅OA →=−1，则△ABC 的周长是 ．15．（5分）已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．16．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣2n +1，若不等式2n 2﹣n ﹣3＜（5﹣λ）a n 对∀n ∈N +恒成立，则整数λ的最大值为 ．三、解答题：本大题共6题，共70分。

17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m →=（cos3A 2，sin3A 2），n →=（cos A 2，sin A2），且满足|m →+n →|=√3．（1）求角A 的大小；（2）若b +c =√3a ，试判断△ABC 的形状．18．（12分）已知圆C 经过原点O （0，0）且与直线y ＝2x ﹣8相切于点P （4，0）． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点M ，N 关于直线y ＝kx ﹣1对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．19．（12分）（理科）各项均为正数的数列{a n}中，a1＝1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n＝2pa n2+pa n﹣p（p∈R）．（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=4S nn+32n，求数列{bn}的前n项和T n．20．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√32，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是4√5 5．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线y＝kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．21．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△P AB外接圆面积的最小值．22．（12分）设函数f(x)=lnx−12ax2−bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令F(x)=f(x)+12ax2+bx+a x（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．第4页（共11页）第5页（共11页）第6页（共11页）2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1．（5分）集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}，N ＝{x |2x +a ＞0}，U ＝R ，若M ∩∁U N ＝∅，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1【答案】B2．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23) B ．(−23，0)C ．(−23，23) D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)【答案】C3．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD →=12BC →，则AD →•BD →的值为（ ）A ．−52B ．52C ．−54D ．54【答案】C4．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2﹣n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n +3b n ﹣1＝4b n 2（n ≥2）n ∈N +，则log 2b n ＝（ ） A ．n ﹣1 B ．2n ﹣1 C ．n ﹣2 D ．n【答案】D5．（5分）已知直线ax +y ﹣1＝0与圆C ：（x ﹣1）2+（y +a ）2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）第7页（共11页）A ．17或−1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．1【答案】C6．（5分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+b 2＝2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2013 D ．2014【答案】C7．（5分）已知点M （a ，b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2+y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx ﹣ay ＝r 2，那么（ ） A ．l ⊥m 且m 与圆C 相切 B ．l ∥m 且m 与圆C 相切C ．l ⊥m 且m 与圆C 相离D ．l ∥m 且m 与圆C 相离【答案】C8．（5分）若圆x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0与圆x 2+y 2＝1关于直线y ＝x ﹣1对称，过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．y 2﹣4x +4y +8＝0 B ．y 2﹣2x ﹣2y +2＝0 C ．y 2+4x ﹣4y +8＝0 D ．y 2﹣2x ﹣y ﹣1＝0【答案】C9．（5分）平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →•AD →=−1，点M 在边CD 上，则MA →•MB →的最大值为（ ） A ．2 B ．2√2−1C ．5D ．√3−1【答案】A第8页（共11页）10．（5分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．[√22，√32] B ．[√22，1） C ．[√22，√3−1] D ．[√33，√63] 【答案】C11．（5分）已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√2+12C ．√2+1D ．√5−1【答案】C12．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对任意x ∈R ，f （2+x ）﹣f （2﹣x ）＝0；③当x ∈[0，2]时．f （x ）＝x ；④函数f（n ）（x ）＝f （2n ﹣1•x ），n ∈N *，若过点（﹣1，0）的直线l 与函数f （4）（x ）的图象在[0，2]上恰有8个交点．则直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．（0，811） B ．（0，118） C ．（0，819） D ．（0，198）【答案】A二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。