n a1不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1) 对称性： a > b ⇔ b < a(2) 传递性： a > b , b > c ⇒ a > c(3) 加法法则： a > b ⇒ a + c > b + c ； a > b , c > d ⇒ a + c > b + d (同向可加)(4) 乘法法则： a > b , c > 0 ⇒ ac > bc ； a > b , c < 0 ⇒ ac < b ca >b > 0,c >d > 0 ⇒ ac > bd (同向同正可乘)(5) 倒 数 法 则 ： a > b , ab > 0 ⇒ 1 < 1a b (6) 乘 方 法 则 ：a >b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ N * 且n > 1)(7) 开方法则： a > b > 0 ⇒ > n b (n ∈ N * 且n > 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0) 的解集：设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 、x 且 x 1 ≤ x 2 ， ∆ = b 2 - 4ac ，则不等式的解的各种情况如下表：y = ax 2+ bx + cy = ax 2+ bx + cy = ax 2+ bx + c2⎩分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般 不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f (x ) > 0 ⇔f (x )g (x ) > 0;f (x ) ≥ 0 ⇔⎧ f (x )g (x ) ≥ 0g (x )g (x )⎨g (x ) ≠ 03、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式 f (x ) > A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) 若不等式 f (x ) < B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) minmax（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax +By +C ＞0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点( x , y )，把它的坐标（ x , y )代入 Ax +By +C ，所得 到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C ≠0 时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于 x 、y 的一次式 z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1） 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2） 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3） 依据线性目标函数作参照直线 a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式≤a + b21. 若 a,b ∈R ,则 a 2+b 2≥2ab ,当且仅当 a =b 时取等号. a + b2.如果 a,b 是正数，那么 2≥ ab (当且仅当a = b 时取"="号).> A < B⎛ a + b ⎫2变形： 有:a+b ≥ 2 ；ab ≤⎝ ⎪ ,当且仅当 a=b 时取等号. ⎭3. 如果 a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值2 P ;S 2如果 a,b ∈R+,且 a+b=S (定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值 .4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式有：（1≥ a + b ≥≥ 2 (根据目标不等式左右的运算结构2 1 + 1 a b选用)；（2）a 、b 、c ∈ R ， a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca （当且仅当 a = b = c 时，取等号）；b b + m（3）若 a > b > 0, m > 0 ，则 a < a + m（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系题型一：不等式的性质1. 对于实数 a , b , c 中，给出下列命题：① 若a > b ,则ac 2 > bc 2 ； ② 若ac 2 > bc 2 ,则a > b ； ③ 若a < b < 0,则a 2 > ab > b 2 ； ④ 若a < b < 0,则1 < 1； a b⑤ 若a < b < 0,则b> a； ⑥ 若a < b < 0,则a > b ；a b⑦ 若c > a > b > 0,则 a > b ； ⑧ 若 a > b , 1 > 1，则 a > 0, b < 0 。

c - a c - b a b其中正确的命题是题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设a > 2 ， p = a +1a - 2， q = 2-a 2 +4a -2 ，试比较 p , q 的大小3. 比较 1+ log x 3 与2 log x 2(x > 0且x ≠ 1) 的大小4. 若 a > b > 1, P = 是.lg a ⋅ lg b , Q = 1(lg a + lg b ), R =lg( 2a + b2) ， 则 P , Q , R 的大小关系 ab 2（二）解不等式题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式(x -1)(x + 2)2≥ 0 。

7. 解不等式5 -xx2 - 2x -3<-18. 不等式ax2+bx +12 > 0 的解集为{x|-1＜x＜2}，则a = , b=9.关于x 的不等式ax -b > 0 的解集为(1,+∞) ，则关于x 的不等式ax +b> 0 的解集为x - 210.解关于 x 的不等式ax2- (a +1)x +1 < 0题型四：恒成立问题11.关于x 的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a 的取值范围是12.若不等式x2- 2mx + 2m +1 > 0 对0 ≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.13.已知x > 0, y > 0 且1+9=1，求使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围。

x y（三）基本不等式题型五：求最值≤a +b214.（直接用）求下列函数的值域1 1（1）y＝3x 2＋2x 2（2）y＝x＋x15.（配凑项与系数）（1）已知x <5，求函数y = 4x - 2 +414x -5的最大值。

（2）当时，求y =x(8 - 2x) 的最大值。

16.（耐克函数型）求y =x2+ 7x +10x +1(x >-1) 的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x) =x +axx2+ 517.（用耐克函数单调性）求函数y =的单调性。

18.（条件不等式）（1）若实数满足a +b = 2 ，则3a+ 3b的最小值是.（2）已知x > 0, y > 0 ，且1+9=1，求x +y 的最小值。

xy1＋y 2 ⎪ ⎩y 2（3） 已知 x ，y 为正实数，且 x 2＋ 2＝1，求 x 的最大值.1（4） 已知 a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数 y ＝ 的最小值.ab题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知 a , b , c 为两两不相等的实数，求证： a 2 + b2+ c 2> ab + bc + ca20. 正数 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc21. 已知 a 、b 、c ∈ R + ，且 a + b + c = 1。

求证： ⎛ 1 -1⎫⎛ 1 -1⎫⎛ 1 -1⎫≥ 8a ⎪b ⎪c ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m 2 的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划 题型八：目标函数求最值⎧2x + y - 3 ≤ 0 23. 满足不等式组⎨7x + y - 8 ≤ 0 ，求目标函数 k = 3x + y 的最大值 ⎪ x , y > 0⎪⎩⎨ ⎩已知实系数一元二次方程 x 2 + (1+ a )x + a + b +1 = 0 的两个实根为 x 、 x ,并且24. 24.0 < x 1< 2 , x 2 > 2 ．则b a -11 2的取值范围是⎧ x ≥ 0⎪⎨3x + 4 y ≥ 4 x , y⎪ y ≥ 0 x 2 + y 2 + 2x 25. 已知 满足约束条件： ⎩ ,则 的最小值是⎧x + 2 y - 3 ≤ 0 26. 已知变量 x , y 满足约束条件⎨x + 3y - 3 ≥ 0 .若目标函数 z = ax + y （其中 a>0）仅在点⎪ y -1 ≤ 0 （3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为。