x=-1-t 在平面直角坐标系 xOy中直线l的参数方程为{y=I+t '(t为参数），以坐标原点0为极 点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p： =6mcos0(m>0) . (1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程； (2)若直线l与曲线C相交于 A,B 两点，且IABI =6,求实数 m的值
23.[选修4-5:不等式选讲] (10分）
设J(x)
=lx+al+
Ix-
1 a
l (aER,且a #-0)
.
(1)当a=I时，解不等式f(x) >x+l;
(2)求证f： (x) ;;:2.
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫3页（共4页）
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫4页（共4页）
X+y-I刻，
14.已知实数x,y 满足(x-y-区 0, 则z= x+y 的最大值为 X+2y-2:::,; 0,
15.在“ 全面脱贫“行动中，贫困户小王 2020 年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000 元，用于
自已开设的小土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每
月获得的利润 是该月月初投入 资金的20%, 每月月 底需缴纳房租600 元 和水电费400 元，余
全国百校2021届高三开学摸底联考全国卷
理科数学试卷
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上 。 2.回答选择题 时，选出每 小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷 和 答题卡一并交回。
7.已知平面a, 直线 l,m,n,且mlla,nlla,则"l _l_m 且l _l_n"是"l _l_a"的
A. 充 要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
8.已知抛物线 y2 = 2px (p>0)的焦点为F,A为抛物线上 一点， O为坐标原点，且成十研= (2, 2)'则p =
｝ ｝ 电子商铺的 “ 生命线”．某电商平台从其旗下的所有电商中随
0 0
. .
0 0
175'－ － 150 ---：卜--
｝
T
－
一一一
｝ ｝ －－： ｝厂--,｝--- ｝
｝ ｝ ｝ ｝ 机抽取了100个电子商铺，对电商 的顾客评价，包括商品符 0.0125----, --,--- -, ----, ---｝
B.2
C.4
D.—72
5.宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中 写 道 ＂ （ 翁）乃取一 葫芦置千地，以钱覆 盖其口，徐以构酌油沥之， 自钱孔入，而钱不湿 ＂，由此诠释出了 ＂ 熟能生 巧 ＂ 的道理已知铜钱是 直径为4 cm的圆， 正中间有一边长为1 cm的正方
形小孔．现先后 两次随机向铜钱上 滴一 滴油（油滴的大小忽略不计），则两
��
]
. 5 ' 0 00 0 ---,---T 一一一�--�-一一 1
0.0025---:-- -+---:---寸一一一：
0 2 0 40 60 80 1 00
评价指数x
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图； (2)现将评价指数 60�x <80的商铺评为“合格商铺 ＂，将评价指数 x�80的电子商铺评为 “ 金牌商铺 ＂，现从这100个商铺中任意抽取两个，记其中合格商铺的个数为'Y/,金牌商铺的
B.扩＞矿>aa
C. 矿＞扩＞矿
D.a b >矿>b"
11. 双曲线C:\ a
_by 2
= l (a>O,b>O)的渐近线与圆0:x2+y2 = a2+b2
在第一 、二象限分别交千
） －－
点M、N,若点 E(O,a)满足EM+EN+EO = 0(其中0为坐标原如，则双曲线的离心率为
A. 顶
B.
闰
2
C. 平
(2)若A=千，角B的角平分线交 AC于点 D,BD=J6,求CD的长．
18.(12分） p
如图，在三棱锥P—ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角
形，M,N分别为AB, AP的中点，过MN的平面与侧面PBC 交 千EF.
(1)求证：MN//EF;
A�- - - - - - - - -/- - - - -- - - - -I- - -�-)C
次油滴均落入 孔中 的概率为 A.161,<'
�忒 B
C1 ·4矿
D.—41'IT
6.已知函数J(x)的图象 如图所示，则J(x)的解析式可能为
A.
J(x)
=
x3
1 +3
X
B. f(x) =了 1 +x2 X
C. f(x) = x- 1 X
D. f(x) = x2-x12
tL
Y ,
\)
0
/
X
20 21届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫1页（共4页）
个数为t,求n飞的分布列和期望．
20.(12分）
已知椭圆M:—矿 x +—Yb2 =l(a>b>O)的离心率为迈— 2，且过如2,心）．
(1)求椭圆M的方程； (2)若A,B分别为椭圆M的上，下顶点， 过点 B且斜率为k( k>O)的 直线l交椭圆M于另一 点 N(异于椭圆的右顶点），交 x轴于点 P, 直线AN与 直线x=a相交于点 Q. 求证：直线PQ的 斜率为定值
考试时间为120分钟，满分150分
一 、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集为R, 集合A =jxlx2-4x+3<Of,B =jyly�2f,则 集合AnB =
A.jxlx�l或x>2f
B.jxlx<l或X>2t
C. lxll<这2f
D.jx 11<x<2f
2.复数1-2i l的虚部为
A.-1
B1
C.—12
D.
-
—1 2
3.已知向量a = (l,m),b = (-2,1),若(a+b)上(a-b),则实数m =
A.2
B.心
C. 一心
D. 土 2
4.设等差数列jaJ前 n项的和为S几，若S5= 10,S9= 90,则公差d=
A.20
款作为资金 全部 用千再进货，如此继续预计2020 年小王的小加工厂的年利润为
r元（ 取1.211 = 7.5,1.212 = 9)
+xl"x,
x� 飞1一 ，
16.已知函数f(x) =
(e为自然对数的底数），若f(x)有 三个零点，则实
✓ 1- 二， x::;;; -了
数a 的取 值范围为
2021届高三开学摸底联考全国卷理科数学试卷笫2页（共4页）
(2)若平面PBC..l平面ABC,AB=AC=3,求 直线PB与 平面PAC
所成角的正弦值．
B
19.(12分）
频率／组距
---厂厂了了勹 随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有
0.0225 0.02 00 ---'---上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 ~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（ 一）必考题： 60分。 17.(12分）
已知三角形 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosA=2ccosB. (1)求角B;
21.(12分） 已知f(x) =-x+aln x.
(1)讨论函数f(x)的极值；
(2)若对VxE[ l,e],其中
e 为自然对数的底数，使得f(x)
l+a < 恒成立，求实数
a的取值
X
范围
（二）选考题： 10分。请考生在第22、23题中选定 一题作答，井用2B铅笔在答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给分。如果多答，按所答 第一题评分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分）
合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把 0.0 1 00 - - - - - -
调查结果转化为顾客的评价指数 x, 得到了如下的频率 分。0075---!---�---上＿＿上＿＿｝
布表：
亡x I
[ 0 20 ) �
I
[
20 40
1�
)
I
[
40 60
1�
)
I
[
6 80
:�
)
I
[
80 00
D.
顶 2
12.在直三棱柱 ABC-A 1B 1 c1中，AB = 2/i,BC = 3, LABC = f,若该三棱柱的外接球表面积为
267T, 则三棱柱的高为
A. 2
B. 4心
C.4
D.2丘
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知咋(0,1r)'且cos了a = s3 ,则sina =
A.4
B. 2
C.互
D.2互
9.如图是函数J(x)= Asin (皿＋切(A>0,w>0, I妒<f)的部分 图象， y