第十一章-无穷级数练习题（一）.基本概念 收敛.Q Q 1.设v U n 为正项级数，下列四个命题 n -1(1)(2) 若limU n =0,则「U n 收敛； 若v U n 收敛，贝U v U n 100收敛; n=1 n W A.级数X |U n |收敛；n =1B.极限 lim Un =0 ;C. 极限 lim Un ^ = r ::: 1 ;F U nnD. 部分和数列Sn =•'.： Uk 有界.k 45.下列级数中条件收敛的是（).(3)若 lim U n 1 nY U n Q Q(4)若v U n 收敛，则 n -1 中，正确的是( ) A . (1)与 (2)；C . (3)与(4)；Q Q 1,则v U n 发散; n =1 lim 5^ ::: 1 . n匚U n■■ 1' 1 ；厂' n= - n cos 1;n 4 tnB.B .⑵与(3)；D . (4)与(1). C. 2.下列级数中，收敛的是（ 1 )• oO q' (-1)n 1 ; n 吕 .n 1001 A. ' -；n £ n□0 B .、 n ；n 壬 2n +1 QQD. ' （-1）nn 4 n, n6.下列级数中绝对收敛的是).8 1 、(-1)n— n=1 nC . 0.001 一 0.001 30.001; 1B. ' —nw nD . 4 32 43 443•在下列级数中，发散的是（ ).Q QC. (-1)n nM n旳1D.二.sin .n 吕 nQO *;（二）.求等比级数的和或和函数。

提示：注 意首项C . —1—；n - n 3n 17.幕级数nx n 1在(-2, 2)上的和函数 n=02s(x) = ___________ .八2 八3 八4333 ...23' 44 4 4oO8.幕级数(-1)nn=04ns(x)= ---------------4.条件（）满足时，任意项级数U n 定n=1在（-4 , 4）上的和函数9.无穷级数：］旳的和S=—（三）■判定正项级数的敛散性。

14.判定级数 、、(-I)"」n • 1 一 n 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：COA15.判别级数v (_1)nln(11)的敛散性，如nvn果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(要求 说明理由)•解12.判别级数的敛散性.cO10•判别级数'、n 4(n!)2的敛散性.11.判别级数的敛散性. £1 € n+1n 4 ■ n(n 21)"4 n 1兀 旳 兀二 3 sin n , 二(1 - cos —)n 生 4 n 蛉 n°° 1「n(1), n =1•. nod z3nn!(四)■判定交错级数是否收敛，如果收敛， 是绝对收敛还是条件收敛。

提示：分三步, 先判断是否绝对收敛，然后用莱布尼兹判别法U n，最后结论为条件收敛。

002n16.判别级数(-1)2 竿 的敛散性，如果收 nd 3敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.解13.判定级数旳1送(一1)心1 n(1 +〒)是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛解：(五).求幕□0QO7 a n X 2n； V a n (X-X °)n 的收敛区n -0n =042QO=xn £间。

提示：变量代换，区间不要端点收敛区间(七). 求幕级数的和函数20. 求幕级数a 斗(2x 1)n的收敛区间.解：(六).将函数展开成x 的幕级数，指出收敛 区间(提示：间接展开法，记展开式)21. 将函数f(x) =(e x -1)(e x2)展开为x 的 幕级数(指出收敛区间).解：区间.解:22. 将函数 f (x)二 xe" 1In(1 x)展开为 x的幕级数，并指出收敛区间. 解Q Q18. 求幕级数7n =4(3)n x 2n1的收敛半径和收敛区间 19.求幂级数:〔罟評的收敛半径和23.将函数f (x) = In(2 - x)展开成(x 1)的幕级数，并写出收敛域.解25.利用幕级数和函数求数项级数:_n26'求幂级数“爲的和函数并写出收敛解:（八）. 相关证明29.设a n 0，且｛na n｝为有界数列•证明：无穷级数& a n3/2收敛.n 4证30.设级数-U n2与1 V n2都收敛，证明级数n 二n £Q Q、（U n V n）2也收敛.n z!证35.设级数7 （a n -a n」）收敛，又b n是收敛n =1nJQ Q的正项级数，证明级数a n b n绝对收敛.n吕证：□031.设a n 乞b n 乞C n 5 =1,2,），且级数 7 a n，n=1 Q QX' C n都收敛，试证明：n 1级数J bn收敛.n ：!证：第十一章-无穷级数练习题答案1. B ) ；2. ( D );3. ( B )；4. ( A5. (C ).6. (B )；7. s(x) ; 8. 4s(x)二——；9. S2 - x x + 410oOc »八U n +|U n U n 一U n 、*、〒口口34.设P n ，q n ，试证明2 2od oO级数a U n绝对收敛的充分必要条件是a P n，n M n』10.判别级数、n =1(n!)2(2n)!的敛散性.lim 乩二limn Unn厂[2(n 1)]!(2n)!(n!)2Q Q、q n都收敛.n =1证：(n 1)(n 1)为条件收敛•=limn— (2n1)( 2n 2)丄1 4 11•判别级数的敛散性. .原级数收敛 14.判定级数 1 Z2 收敛， n4 n(n 2 1)(比较法) 二 n 1 — n 」n 1 送In （1 +：）发散， n 4 n CO、3n n 4 JI *°°ji 7 (1-cos —)收敛 n 4 n 12.判别级数的敛散性（比值法） ■:3n-n! - n 土 n 敛？如果收敛,解：U nQ Q、（—1）2 •.、n • 1 - n 是否收是绝对收敛还是条件收敛？所以U nQ Qn 1 一 .. n发n丄减，且 lim u n =0，4吨卜（3）计 收敛 Q0八nn 4因此 Q Q7 (-1)n‘ . n • 1 - ； n 收敛，且为 条件收敛•Q Q13.判定级数 「（-1）n」ln （1 1）是否收敛？ n1 15.判别级数' （-1）nln （1——）的敛散性，如nv n 如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？ 解: n > :: ，un 1 1 =ln (1 )~ ， .n n 果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（要求 说明理由）•发散，所以 Q Q解 J(-1)nln 吕1ln(1 -) lim 亠=1n —』-1 1 n1(+丄)=瓦 I n1f-),贝U n nT发散; □az n T1l n1C -）发散，原级数不绝对n又U n1 -ln (1) Hn单调递减，且收敛;l i mu n u n =0，且 limu nn —jpC因此 oO' (T)z l n1(n d）收敛，且1 1U n 二 ln(1 ) - ln(1 J = U n 1n n 十1 1二 lim ln( 1 )=0 n 厂 n001送(—1)nl 门(1+—)收敛。

n 三 n绝对收敛.18. P283 例 3 19. 求幕级数二(-1)」^：2)0的收敛半径和心 (n +1卅收敛区间或匸 2+ n /、=Z ----- x (虫 <x <+=c )-------n4 n!22.将函数 f (x)二 xe'x 1 ln(1 • x)展开为x的幕级数，并指出收敛区间.解 f (x)二 exe_2xln(1 x)区间为(-2,1).所以二 ng(_1)n |n(1丄)为条件收敛。

n 16.判别级数 J(_1)n 」孕的敛散性，如果收 n 4 3 21.将函数f (x)二(e x - 1)(e x2)展开为x 的幕级数(指出收敛区间).解：f (x) = e 2x • e x-2敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. 2n U n = 3*二=11n 卫 (2x)nn!::x n -—-2 n!(-：：：：x ：：：：)U n 1 lim n匚U nn匸3n3nJn」n! nxi( n 2)3 3R =3 oO =ex' n =0(-2x)nn!“(-1)nn=0x n1n 1(一1 ：：：x ：：：1)x-2 c3，所以收敛区间为(-1,5) □0 20.求幕级数「斗(2x 1)n的收敛区间. <.:e(-2)n x n1=L ---------n =0n!(一1 ：：X :： 1)解: 八g. n =0 I n!(-门-^x< 1)R亠3，2x+1 £3，所以收敛23.将函数f (x) = ln(2 x)展开成(x 1)的幕级数，并写出收敛域. 解f (x)二 l n 2 x)■级数"(-1) n 4心話收敛且是旳 (x+1)n申=ln(1x1)=' (-1)nn^ n +1收敛域为 (-2 , 0] x 3J3故25. 利用幕级数和函数求数项级数 S i (x)=—dx 3 —x =—31 n 3 —x —x+ 3ln3 oO zn 4A 的和.n 2所3ln (3-x) 3l n3 .S(x) S(x)二x 解: Q Q作级数、' n z 4 n A.n x(x <3 且 x^O ).limf n 1 =讪口=1nb j a n n —‘ n当x =1时，二n 发散；当X =「1n 壬 、(-1)n」n 发散. n 4 所以收敛域为 ② x x 0 S(x)dx 「0 时, n A. n x °° x dx i … T0n £ cOdx =二n A(1-x)2x (-1,1)29.设a n 0，且｛n a n ｝为有界数列•证明:穷级数v a n 3/2收敛.n T证 因为an 0，且｛ n an ｝为有界数列,因为正项级数x1 -x二 a n 3/2收敛.n dQ Q30.设级数、 n AnV 13/2n-I M . 0 s.t. 0 ：：： na n 乞 M ,3/2 3/2 1 0 ： a n M 丽，n 收敛，由比较审敛法得知Q QU n 2与「V n 2都收敛，证明级数n =1s(2) CO=11n =1 n -1=4、(U n V n )2也收敛.n £证Q Q 26.求幕级数、 nx n 壬(n 1)3n的和函数并写出收敛 0 —(U n ' V n )2<2 2 . 2 2un2 un v n v n2 un2vn ,区间. od解：设S(x) n nm(n +1)3nn 1x n#(n 1)31^(x^^=S (第nW3n £3cO其中S(x)二扣),Q Q因为、」U n 2n =1od与、n TV n 2都收敛，所以 ，逐项求导得: □0X(2U n 2 2V n 2)收敛,n =i因此,级数7 (u n V n )2收敛.n dQ Q证：级数二（a nn =4oO7 （a n -a n 」）收敛，可n证：1）若二：p nn ：4 Q Q7 q n 都收敛，则由n =1Q Q31.设 a n 乞b n 乞c n (n =1,2,),且级数 a nn gQ Q、「C n 都收敛，试证明: n 4Q Q所以级数二U n 绝对收敛的充分必要条件是n =10"n级数—b n 收敛. n 4 "P n ，、: q n 都收敛.n 4n 435.设级数二（a n -a n 」）收敛,n 4Q Q又J b n 是收敛n -4一寺 MC n -a n (n =1,2,) 的正项级数，证明级数 J ang 绝对收敛.n 4od、(b nn =4-a n )收敛,Sn = a n - a 0,QO n QO'、' bn - v [a (b n - a n )] 收敛. n ：4 n lim S n = S ，n「34.设 P n =Un 2U n ,q n -U n 厂，试证明因而lim a^ S ■ a o ，故数列^a^有界, n :.Q Q 级数二U n 绝对收敛的充分必要条件是 n =1Q Q q n 都收敛. n ：! □a7 P nn Ta n 乞 M ( n =1,2,)由于正项 Q Q级数& b n 收敛，nToOzn 4U n oO八(P n Tn)可得' n 吕 COU n n z!收敛, Q Q所以级数^a n b nn £绝对收敛.oO 即V u n 绝对收敛;n TQ0 Q Q 2）若U n 绝对收敛，则 n U n oO ' U nn =1都收敛，因而 oO' P n n =100U+ 八U nn =1U n2□0 oOV —寸U n-q n n "n ■- U n 2都收敛;oO二(cn- a n )n =4-a n j ）的前n 项和为由于级数a nb n 兰 Mb。