22.03.2022
小结：
一 、 余 弦 定 理 的 证 明 与 推 导 （ 两 种 基 本 方 法 ） ；
二 、 余 弦 定 理 的 应 用 ：（ I ） 已 知 两 边 及 它 们 的 夹 角，求第三边
（ ii） 已 知 三 边 求 三 角
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判断三角形的形状：
例已 . 知 ΔAB中 C，a2bcosC, 试确定三角形的 . 形状
解三角形复习
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一、正弦定理及应用
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welcome
正弦定理
在 一 个 三 角,各 形边 中和 它 所 对
A
的 角 的 正 弦 的 比 ,即相 等
c
b
abc
sinA sinB sinC
B
a
C
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正弦定理的应用
利用正弦定理，可解决以下两类有关三角形的 问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。 （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的 对角。
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ， b= 2 2 ，c= 6 2 ，求 A、B、C 的值。
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例 2、在 ABC中，已知 a：b：c=3： 5：7，求 A、B、C 的值。
解： a：b：c=3：5：7
C 为 ABC的最大角
可令 a=3k（k>0），则 b=5k，c=7k
cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2 bc
cos B a 2 c 2 b 2 2 ac
a2 b2 c2 cos C
2 ab
（2）注意每个等式中含有四个参数，那么只要知道其中三个量，必 定 可 以 求 出 第 四 个 量 （ 相 当 于 求 解 只 含 一 个 未 知 数 的 方 程 ）；
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小结：
1、正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
（R 为 ABC 的外接圆半径）
2、三角形的面积公式
S 1 2asbiC n 1 2bsciA n 1 2asciB n
3、正弦定理的应用：
(1)已知两角和任一边，求其它的边和角； (2)已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其它的边
（ 3） 余 弦 定 理 的 应 用 ： （ I） 已 知 两 边 及 它 们 的 夹 角 ， 求 第 三 边 和 其 它 两 个 角 ；
（ ii） 已 知 三 边 ， 求 三 个 角
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应用举例
例、（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ， c= 2 3 ，A=1200 ，求 a.
和角。
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二、余 弦 定 理 及其应用
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余 弦定理
定理：三角形任何一边的平方等于其它两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍。
说明：
（1）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的 特例
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a 2 b 2 c 2 2 bc cos A b 2 a 2 c 2 2 ac cos B c 2 a 2 b 2 2 ab cos C
（I）求 A 的值；（ii）试求 c 的值。
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（3）在 ABC中，已知 A= 600 ，AB=c，BC=a，
AC=b ， 且 b 、 c 恰 好 为 方 程
x2 7x 11 0 的 两 根 ， 则
a=
。
（4）在 ABC中，已知 AB= 4 3 ，AC= 2 3 ，
A= 600 ，试判断 ABC的形状。
1.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC=57cm，它与两条邻边AB和AD的 夹角分别是 =27 和 =35 ，求AB和AD（精确到1cm）.
D CAB源自22.03.20221、在春节图片和视频中重温春节生活 的欢快 和喜悦 ，激发 学生对 传统节 日、民 俗文化 的热爱 之情。 2、在送祝福的实践活动中对为社会服 务的劳 动者表 达感谢 之情 3、了解春节的相关习俗，感受春节的 热闹气 氛。 4、知道春节期间有很多人还在辛勤工 作，学 习用自 己的方 式表达 对他人 劳动的 感谢之 情。 5．经历三次认知冲突后意识到摆的摆 动快慢 与摆长 有关。 6．经历实验和数据分析，理解同一个 摆，摆 长越长 ，摆动 越慢， 摆长越 短，摆 动越快 。 7．用测量与比较的方法研究摆的摆动 快慢规 律。
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练习： 已知ΔABC 中， (a b c)(b c - a) 3bc, sinA 2sinBcosC 试确定 三角形的形状 .
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正余弦定理的综合应用：
例. 在ΔAB中C ，A60Ο,面积 为3,求： abc 的值
s inAs inBs inC
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a2
b2 c2 2ab
1 2
C= 1200
C 的补角为：1800 C 600
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练习与思考：
（1）在 ABC中，若 a 2 = b 2 + c 2 + b c ，则 A 的度
数为（ ） A、 300 B、 600 C、1200 D、1500 （2）在 ABC中，已知 b= 5 3 ，a= 5 2 ，B= 600 ，
（从而进一步求出其他的边和角）
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例题讲解
例1.在ABC中 (1)已 知b 12, A 300, B 120,求a; (2)已 知c 10, A45,C30,求b,SABC. (3 ) 已 A 3 知 0 ,B 0 C 60 ,a 0 2 ,求 c .
点拨：解三角形应先画出图形，再去分析．
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例题讲解
例2.在ABC中 (1)已知b 3,c 1,B60,求a,和A，C;
(2 ) 已 a 知 23 ,b 22 ,B 4,求 5A 。 (3)已a知 2,0b2,8a120,0解 这 个.三 角 形
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.