π为无理数的比较简洁的证法
用反证法。

如果π为有理数，令πb a /=，其中均是整数且。

对于任意自然数，构造
多项式b a ,0>b n ！
n bx a x x f n
n )()(−=，先回忆一下一个多项式的系数与其各阶导数的关系。

假设 0111)(a x a x a x a x g n n n n ++=−−＋＋L
是任意一个次多项式，则常数项n )0(0g a =。

对求导后，可以知道一次项的系数。

一般的，不难归纳出的次项系数，其中表示表示的k 阶导数。

)(x g )0(1g a ′=)(x g k !/)0()(k g a k k =)()(x g k )()(x g k )(x g 现在令
n n bx a x x f n x g )()(!)(−==，
则显然是一个次的整系数多项式，最低次项为。

根据上述多项式的求导规律，当时有，即；而当时为整数。

注意到，这说明)(x g n 2n n x a n k <0!/)0()(==k k a k g 0)0()(=k g
n k ≥k k a k g =!/)0()()(!)()()(x f n x g k k =n k <时，而当时为
整数，此时本身必为整数。

总之，对于任意的，证明了都是整数。

0!/)0()(=k f k n k ≥!/)0(!)(k f n k )0()(k f k )0()(k f 因为已经假设了b a /=π，不难看出)()(x f x f −=π，根据求导的简单性质可知
，
)()())1)(()(k k k x f x f −−=π从而
)()())1)(0()(k k k f f −=π，
所以也总是整数。

)()πk f 从出发，再构造一个多项式
)(x f )()1()()()()()2()4()2(x f x f x f x f X F n n −+−+−=L ，
不难看出
)()()(x f x F x F =+′′。

既然在和)(x f 0=x π=x 时均取整数值，则和)0(F )(πF 也都是整数。

现在
x x f x x F x F x x F x x F dx
d sin )(sin )]()([]cos )(sin )([=+′′=−′， 所以，根据微积分学基本定理，
∫
+=ππ0)0()(sin )(F F xdx x f
也是一个整数。

但是另方面，对于π<<x 0，有下述不等式
!sin )(0n a x x f n
n π<<。

显然，当时，∞→n !n a n
n π将越来越小，以零为极限。

所以当一开始就把取的充分大时，
使得n ππ1
!sin )(0<<<n a x x f n
n ，则得相应的积分值
∫<<π
01sin )(0xdx x f ， 就说明了其不可能是整数，得出矛盾。

―――――摘自《数学的100个基本问题》 靳平主编 山西科学出版社 2004。