二次根式知识点总结及常见题型资料编号 :20190802一、二次根式的定义形如 a （ a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断:①是否含有二次根号“” ;②被开方数是否为非负数 .若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 .（ 3）形如m a（a≥ 0）的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a （ a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质 :（1）双重非负性 : a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值）（2）回归性 :2a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性 : a 2a(a0)aa(a.（主要用于二次根式的化简）0)重要结论 :（1）若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 .应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 ,A ≥0,B2≥0, C ≥0∴ A 0, B0, C0 .该性质常与配方法结合求字母的值.（2） A B 2 A BA B A B;主要用于二次根式的化简.B A A BA2 B A 0（3）A B, 其中B≥ 0;A2 B A 0该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的.（4） A B 2A2 B ,其中B≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________.x1分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1.例 2.若 x, y 为实数,且y x111y1 x,化简 :.2y1分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B .解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0∴ x ≥1, x ≤1∴ x1∴ y00111 22y11y1 .∴1y1y习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________.习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________.习题 4.若函数 y 1 2 x,则自变量x 的取值范围是__________. x习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________.例 3.若a1 b 24b 4 0 则ab 的值等于【】,（A ）2（ B） 0（ C）1（ D） 2分析 : 本题考查二次根式的非负性以及结论: 若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.解: ∵a 1b2440b∴ a1b 2 20∵ a 1 ≥0,b 2 2≥ 0∴ a10,b20∴a 1,b 2∴ab 1 2 2 .选择【D】.例 4. 无论x取任何实数,代数式x 26x m 都有意义,则 m 的取值范围是__________.分析 : 无论x取任何实数, 代数式x26x m 都有意义,即被开方数 x 26x m ≥0恒成立, 所以有如下两种解法:解法一 :由题意可知 : x26x m ≥0∵ x26x m x 3 2m9 ≥0∴ x 3 2≥ 9 m∵x 3 2≥0∴9 m ≤0,∴ m ≥9.解法二 :设y x 26x m∵无论 x 取任何实数,代数式 x 26x m 都有意义∴ y x2 6 x m ≥0恒成立即抛物线y x 26x m 与 x 轴最多有一个交点∴ 6 24m364m ≤0解之得 : m≥ 9.例 5. 已知a, b, c是△ ABC 的三边长 ,并且满足 a 6 8 b c 2100 20c ,试判断△ABC的形状 .分析 : 非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解: ∵a68b c 210020c∴ a6b8 c 220c100 0∴ a6b8c10 20∵ a 6 ≥0, b 8 ≥0, c 102≥ 0∴ a60,b80, c100∴ a6,b8,c10∵a2 b ∴ a2b 226c28 2100,c 210 21002∴△ ABC 为直角三角形 .习题 6.已知实数 x, y 满足x4y 8 0 ,则以x, y的值为两边长的等腰三角形的周长为【】（A ） 20 或 16（ B） 20（C） 16（ D）以上答案均不对习题 7.当 x _________时,9x11取得最小值,这个最小值为_________.习题 8.已知 y x2424x2,则x y的值为 _________.x习题 9.已知非零实数满足22 b 1a,b a8a 16 b 3a 5 b 1 4 a 求a 的值.,提示 : 由 a 5 b2 1 ≥0,且 b 210 可得: a 5 ≥0,∴ a ≥5.例 6. 计算 :2（1）2226;（ 2）2 x3 ;（ 3） 3.3分析 : 本题考查二次根式的性质:a 2a （ a ≥0） .该性质主要用于二次根式的计算 .解: （ 1）26 ;622x 3 ;（2）2x 322（3）323 229 26.333注意 : A2A 2B , 其中 B ≥ 0.该结论主要用于二次根式的计算.B例 7. 化简 :2（1）252 ;（ 2）10;（3） x 26x 9 x 3 .7分析 : 本题考查二次根式的性质: a 2aa(a 0) . 该性质主要用于二次根式的化简.a( a 0)解: （ 1） 25225 25 ;210 10（2）1077;7（3）x 26x 9x 3 2x 3∵ x 3∴原式3 x .注意 : 结论 :A B 2A BA B A B. 该结论主要用于二次根式和绝对值的化B A AB简.例 8. 当 x 3 有意义时 ,化简 : x 5 x 22 21 x .解: ∵二次根式 x 3 有意义∴ x3 ≥ 0∴ x ≥ 3∴ x5x2122x x5x21xx5x2x13x2例 9.化简 :22 x3x2.分析 :x 2 2x 2 ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件 :x 3 的被开方数 x 3 为非负数.解: 由二次根式有意义的条件可知:x 3 ≥0∴x ≥322∴x3x2x3x2x3x22x5例 10.已知0a1,化简a 12a1a2 __________.a解: ∵0a1∴a 1 a∴ a12a12a a1212 a aa aa 1a1y a aa 11aa a O xa 11a a a2a例 11. 已知直线y m 3 x n 2 （ m, n 是常数）,图（ 1）n 2解: 由函数y m 3 x n 2 的图象可知: m 30,n20∴ m3, n2∴ m n n24n4m 1m n n2m1 2m n n2m1 m n2n m1 m n2n m 11例 12.已知 a,b, c 在数轴上的位置如图（2）所示 ,化简 : a2 a cca0b图（ 2）解: 由数轴可知 : c a 0 b∴a c 0∴ a2c a2 b 2a ca a c c a ba a c a c ba b习题 10.要使x2x22 2 , x 的取值范围是__________.习题 11.若 a 2a0 ,则 a 的取值范围是__________.32习题 12.计算 :_________.412习题 13.计算 :2_________.2习题 14.若x 32x3 成立则x的取值范围是__________.,习题 15. 下列等式正确的是22（A ）33（ B ）33c a22 .b【】（C ）3332（ D ）33习题 16. 下列各式成立的是【】21（A ）1（ B ）232232（C ）1 1 （ D ） 324 2722习题 17. 计算 :2 72_________.习题 18. 化简 :2x 2_________.x习题 19. 若 a 23a 1 b 22b 1 0,则 a 21b________.a 221 2习题 20. 已知1 a 0 ,化简a 14 得__________.4aaa习题 21. 实数 a,b, c 在数轴上对应的点如图（ 3）所示 ,化简代数式 :a 2 2a 1b ca 22ab b 2 的结果为【】（A ） 2bc1（ B ） 1（C ） 2a c 1（D ） b c 1c b1 a图（ 3）习题 22. 化简 : 4 x 224x 12x 3 .例 13. 把 a1中根号外的因式移到根号内,结果是【 】a（A ）a （ B ） a （C ）a （D ） a分析 : 本题实为二次根式的化简 : 某些二次根式在化简时, 把根号外的系数移到根号内, 可以A2 B A 0A B, 其中B≥ 0.A2 B A 01解: 由二次根式有意义的条件可知:0a∴ a0∴ a1a21 a .选择【D】.a a习题 23.化简 2a1得 __________. a2三、二次根式的乘法一般地 ,有 :a b ab （ a ≥0, b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式, 注意公式成立的条件: a≥ 0, b≥ 0. 即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为: m a n b mn ab （ a ≥0, b ≥0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用, 即有 :ab a b （ a ≥0, b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简. 注意公式逆用的条件不变.例 14. 若x x 6x x 6 成立,则【】（A ）x≥ 6（B）0≤ x≤6（C）x≥ 0（D）x为任意实数分析 : 本题考查二次根式乘法公式成立的条件: a b ab （ a ≥0,b ≥0）解:由题意可得 :x 0x 6 0解之得 : x≥ 6.选择【 A 】 .例 15. 若x 21x 1 x 1 成立,则 x 的取值范围是__________.分析 : 本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件 : aba b （ a ≥ 0, b ≥ 0）解: 由题意可得 :x 1 0x1解之得 : x ≥ 1.例 16.计算 : 2 a1 a （ a ≥ ）8 0 .1 1 121解:21a a2aaaaa （a≥ ）.288422习题 24. 计算 :127 _________.3习题 25. 已知m32 21 则有【】3,（A ） 5 m 6 （ B ） 4 m 5（C ）5 m 4（ D ） 6 m 5习题 26. 化简 12 的结果是 _________.四、二次根式的除法一般地 ,有 :aa0 ）（ a ≥ 0, b b b（ 1）以上便是二次根式的除法公式, 要特别注意公式成立的条件 ;（ 2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为 : a ba b （ a ≥ 0, b 0 ） ;（4）二次根式的除法公式可逆用, 即有 :a a 0 ）b（ a ≥ 0, bb公式的逆用主要用于二次根式的化简, 注意公式逆用的条件不变 .五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（2）被开方数中不含有分母或小数.注意 : 二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化 .如对1进行分母有理化,过程为 : 1222;对1进行分母有理化,过程222223为:13232233232.7由举例可以看出, 分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算 :（1）54;（ 2）8332 2;（ 3）28xy 27 y 2.623解: （ 1）54549 3 ; 66（2）833 223388388338983238332332831632 ;24（3）28xy 27 y 228xy 27y 24x2x .例18. 化简 :（1）532;（）0.4;（） a6a 9a （a3）. 6解: （ 1）5556306666;6（2）0.42210; 555（3）∵a3∴ a 36a 29a a a 26a 9a a 3 2 a 3 a注意 : 随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略, 以简化计算 .例 19.式子x1x 1成立的条件是 __________.x2x2分析 : 本题求解的是 x 的取值范围 , 考查了二次根式除法公式逆用成立的条件a a:bb（ a ≥ 0, b 0 ） .解: 由题意可得 x 1 0:2x解之得 : x2 .例 20. 计算 :（1） 32;（2）20 1 （ 3）3285;.752解: （ 1）32 32 2275 75 25;5（2）201201 5 ;55255（3）解法 1:32832 8164 422 .222解法 2:328 328 26416 8 4 2 .22222二次根式的乘除混合运算例 21. 计算 :（1）30 3 2 22 21;（ 2） 1227 18 .2 32解: （ 1）原式30 3 82 52 3231 30 8 222 3 5316243 4 243 2（2）原式12 1824 8 2 2 .273习题 27. 下列计算正确的是【】（A ） 122 3（ B ）3 322（C ）x 3x x（ D ） x 2 x习题 28. 计算 :278 1 _________.3 2习题 29. 计算 : 46x 32 x_________.3习题 30. 直线 y 3x 1与 x 轴的交点坐标是 _________.习题 31. 如果 ab 0, ab0 ,那么下面各式 :①a a ; ab 1 ;③ aba b .bb②abb其中正确的是 _________（填序号） .习题 32. 若 ab 0 ,则化简 ab 2 的结果是 _________.习题 33. 计算 :（1） 213 285 22;（ 2） 118 8 12 4 1 .274363 2例 22. 先化简 ,再求值 :3 x 24x 4 x1x 1,其中 x2 2 .x1解:3 x1x 2 4x 41x 1x3 x 1 x 1 x 1 x 1x 1x 2 2x 2 x2x 1x 1x 2 2x 2x 2当 x22 时原式22 2 2 41 .22 22 2 2习题 34.先化简 ,再求值 :2 a 1a 1 ,其中 a2 1.a1 a2 2a 1 a 1习题 35. 先化简 ,再求值 : x2y x 1x 2x 2 y 2x2xyy 2,其中 x 2 , y 6.习题 36. 下列根式中是最简二次根式的是【 】（A ）2（B ） 3（ C ） 9（ D ） 123例 23. 观察下列各式 :11 2 2 1;12 12 1212332;2323 2 3134 43;34 3 4 34.1（1）请利用上面的规律直接写出的结果 ;99 100（2）请用含 n （ n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明 ;（3）计算 :111112017 .22334201612017分析 : 本题考查分母有理化 .解: （ 1）11009910311 ; 99100（2）1n1n ;n1n（3）原式21324320172016 12017 2017120171201712016习题 37.化简 :111.213298七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式.同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式 ;（2）看被开方数是否相同 ;（3）定结果 : 若相同 , 则它们是同类二次根式 ; 若不相同 , 则不是 .同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减, 将它们的系数相加减, 二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式 ;（2）合并同类二次根式 ;例 24. 计算 :（1 ） 8 18 12 ;（ 2） 27 12 45 .解: （ 1）原式 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3 ; （2 ）原式3 3 2 33 53 35 .注意 : 不是同类二次根式不能合并.例 25. 计算 : 253218 .2解: 原式5 42 3 225 2 2272 2例 26. 计算 :（1）32 3 2 2232;（ 2） 57 75 2 23 .322 2解: （ 1）原式 32 3324 9 1936（ 2）原式 5 7 8 4 6 39 4 6 .。