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二次根式知识点总结

二次根式知识点总结
王亚平
1. 二次根式的概念
二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时,a 才有意义.
2. 二次根式的性质
1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数.
注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.
2.)0()(2≥=a a a
注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完
全平方的形式:)0()(2≥=a a a
3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2
a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
3. 最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式:
(1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号.
2、同类二次根式(可合并根式):
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式
4. 二次根式计算——分母有理化
1.分母有理化
定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。

2.有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下:
①单项二次根式:利用a a a =⋅来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式:利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -,b a +与b a -,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3.分母有理化的方法与步骤:
①先将分子、分母化成最简二次根式;
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;
5. 二次根式计算——二次根式的乘除
1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab
2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a
3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。

)0,0(≥≥=b a b
a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

)0,0(≥≥=b a b a b
a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.
6. 二次根式计算——二次根式的加减
二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。

1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。

2、二次根式的加减分三个步骤:
①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式;
③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并
注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.
ac
ad bc ac ad ac bc c d a b +=±=±(分母没有最小公倍数时) 7. 根式比较大小
1、根式变形法 当0,0>>b a 时,①如果b a >,则b a >
;②如果b a <,则b a <。

2、平方法 当0,0>>b a 时,①如果22b a >,则b a >;②如果22b a <,则b a <。

3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。

5、倒数法 当0,0>>b a 时,①如果b a >,则b a 11<;② 如果b a <,则b
a 11>。

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①b a b a >⇔>-0;②b a b a <⇔<-0
8、求商比较法它运用如下性质:当0,0>>b a 时,则:①
b a b a >⇔>1; ②b a b
a <⇔<1
1.(2017 重庆)估计110+的值应在( )
A. 3和4之间
B. 4和5之间
C. 5和6之间
D. 6和7之间
2.(2017 南京)若103<<a ,则下列结论中正确的是( )
A. 1<a<3
B. 1<a<4
C. 2<a<3
D. 2<a<4
3.(2017 广安)要使二次根式42-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )
A. x>2
B. x ≥2
C. x<2
D. x=2
4.(2017 济宁)若12112+-+-x x 在实数范围内有意义,则x 满足的条件是(

A. 21
≥x B. 21≤x C. 21=x D. 21
≠x
5.(2017 贵港)下列二次根式中,最简二次根式是( )
A. 2-
B. 12
C. 51
D. 2
a
6.(2017 常德)计算:=--382______
7.(2017 北京)写出一个比3大且比4小的无理数:______
8.(2017 荆门)已知实数m,n 满足012=++-m n ,则m+2n 的值为_______
9.(2017 呼和浩特)计算:23
)210
81
(252+--- .
10.(2017 陕西)计算:1
)21(236)2(---+⨯- .
11.(2017 内江)计算:0222017)2017()21
()2(60tan 33
11π-+⨯-+︒---- .
1. B
2. B
3. B
4. C
5. A
6. 0
7. 13,11,10,π......
8. 3
9. 2
3)21081(252+--- 2
3)22021(25+---= 1522352125-=++-
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10. 1)2
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32
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