二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质： （1）（a ）2
=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a
=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
a （a ＞0）
a -（a ＜0）
0 （a =0）；
1、概念与性质
例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）x x --+31
5；（2）22)-(x
例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x
a b x xy abc +-，最简二次根式是（
）
A ．1) 2)
B ．3) 4)
C ．1) 3)
D ．1) 4)
例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y
y x
x y y x x x y
例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算
例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
11
()
b
a b b a a b
++
++
，其中a=
51
2
+
，b=
51
2
-
．
例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222
()
a b a b
---
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0
a b
>>时，①如果a b
>，则a b
>；②如果a b
<，则a b
<。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法
当0,0
a b
>>时，①如果22
a b
>，则a b
>；②如果22
a b
<，则a b
<。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较
2
31
-
与
1
21
-
的大小。

（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514
-与1413
-的大小。

（5）、倒数法
例5、比较76
-与65
-的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73+与873-的大小。

（7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7、比较2131++与23
的大小。

（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：
①1a
a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔<
例8、比较53-与23+的大小。

5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415
的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知，则a _________
发展：已知，则a ______。

例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b a b -+的值为（ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．12
例5、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形： 甲：==； 乙：=。

其中，（ ）。

A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
【基础训练】
1．化简：（1）72=__ __；（2）222524-=___ __ （3）61218⨯⨯=___ _；
（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； （5）_______420=-。

2.)化简()24-=_________。

3.计算4的结果是
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4
4. 化简：（1）（08，泰安）9的结果是 ；（2）123-的结果是 ；
（3）825-= （4））5x -2x =_____ _；
（5）3＋（5－3）=_________； （6） ；
（7）＝________；（8） ．
5．计算28-的结果是 A 、6 B 、6 C 、2 D 、2
6．（08，广州）3的倒数是 。

7. (08，聊城)下列计算正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、3
294= 9．（08，中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；
10. 比较大小：３ 10。

11．（08，嘉兴）使2x -有意义的x 的取值范围是 ．
12.(08，常州)若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是
A.x >-5
B.x <-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
13. (08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是 ．
14.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是
A 、2－x
B 、x+2
C 、x －2
D 、
1x －2
15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是 A.21a + B.12
C.8
D.27 16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是
A ．10
B ．8
C ．6
D ．2
17．（08，常德）下列各式中与
是同类二次根式的是 A ．2 B ． C ． D ．
18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是
A ．2112与
B ．2718与
C ．3
13与 D ．5445与 19.(08，乐山)已知二次根式
与是同类二次根式，则的α值可以是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
20．（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a -
21.（08，遵义）若230a b -+-=，则2
a b -= ． 22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N 23.计算： （1） （2）
（3）（08，上海）． （4）（08，庆阳）．
（5）27124148÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
24.先将
2
2
x
x
-
-
÷
32
2
x
x x
-
化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

25.( 08，济宁)若，则的取值范围是
A．B．C．D．
26.(08，济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点
为点，则点所表示的数是
A．B．C．D．。