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二次根式知识点总结大全

二次根式
【知识回顾】 1.二次根式:式子
a (a ≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质:
(1)(a )2=a (a ≥0); (2)==a a 2
5.二次根式的运算:
(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
a (a >0)
a -(a <0)
0 (a =0);
(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
ab a ·b (a≥0,b≥0);
b b
a a
=
b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
【典型例题】
1、概念与性质
例1、下列各式
1)222
11,5,3)2,4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围
(1)
x x --
+31
5;(2)2
2)-(x
例3、 在根式1)
2
2
2;2);3);4)275
x
a b x xy abc +-,
最简二次根式是( )A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4)
例4、已知:的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y
y x x y y x x x y
例5、已知数a ,b ,若2
()a b -=b -a ,则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将
根号外的a 移到根号内,得 ( ) A.
; B. -
; C. -
; D.
例2. 把(a -b )-1
a -
b 化成最简二次根式
例3、计算:
例4、先化简,再求值:
11()b a b b a a b ++++,其中51+,51-.
例5、如图,实数a 、b 在数轴上的位置,化简 :
222
()a b a b ---
4、比较数值 (1)、根式变形法
当0,0a b >>时,①如果a b >a b >a b <a b <。

例1、 比较35与3的大小。

(2)、平方法
当0,0a b >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。

例2、比较323
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。

例331-21
-
(4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。

例4、比较1514-与1413-的大小。

(5)、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。

(6)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①0a b a b ->⇔>;②0a b a b -<⇔< 例6、比较2131++与2
3
的大小。

5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程:
, 验证:

验证:
.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4
415
的变形结果,并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n 是整数)表示的等式,并给出验证过程.
例3、已知a>b>0,a+b=6ab ,则a b
a b
-+的值为( ) A .
22 B .2 C .2 D .12
例4、甲、乙两个同学化简
时,分别作了如下变形:
甲:
=
=

乙:=。

其中( )A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
【基础训练】
1.化简:(1)72=__ __;(2)22
2524-=___ __
(3)61218⨯⨯=___ _;
(4)3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _;
(5)
_______420=-。

2.)化简
()
2
4-=_________。

3.计算4的结果是
A.2 B.±2 C.-2 D.4 4. 化简:(1)9的结果是 ; (2)123-的结果是 ;
(3)825-= (4))5x -2x =_____ _; (5)3+(5-3)=_________; (6) ; (7)
=________;
(8) .
5.计算28-的结果是( )
A 、6
B 、6
C 、2
D 、2 6
3的倒数是 。

7.下列计算正确的是 A . B .
C .
D .
8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、
()5.15.12
-=-
C 、39=-
D 、
3
294=
9.已知等边三角形ABC 的边长为33+,则ΔABC 的周长是__________; 10. 比较大小:3
10。

11.使2x -有意义的x 的取值范围是 .
12.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )
A.x >-5
B.x <-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
13. 函数
中,自变量的取值范围是 .
14.下列二次根式中,x 的取值范围是x ≥2的是( ) A 、2-x B 、x+2 C 、x -2 D 、1x -2
15.下列根式中属最简二次根式的是( )
A.21a +
B.
1
2
C.8
D.27 16.下列根式中不是最简二次根式的是( ) A .10 B .8 C .6 D .2 17.下列各式中与是同类二次根式的是( ) A .2
B .
C .
D .
18.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( )
A .
2
112与
B .2718与
C .
3
13与
D .5445与
19.已知二次根式与
是同类二次根式,则的α值可以是
( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 20.若b a y b a x +=-=,,则xy 的值为( ) A .a 2 B .b 2 C .b a + D .b a - 21.若230a b --=,则2
a b -= .
22.如图,在数轴上表示实数15的点可能是( )
A .点P
B .点Q
C .点M
D .点N
23.若
,则的取值范围是( ) A . B . C . D .
24.如图,数轴上两点表示的数分别为1和
,点关于点的对称点为点,则点所表示的数是
A .
B .
C .
D .
25.计算:
(1)
(2) (3)
. (4).
(5)27124148÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+。

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