轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
例题8- 2 试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力
I
II
III
F1
F2
弹性模量E是直线Oa的斜率
直线部分的最高点a所对应的应力称为
比例极限，p
Oa段材料处于线弹性阶段
ab段不再为直线，但解除拉力后变形仍可完全消 失（弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值-
--弹性极限，e

当应力大于弹性极限后，若再解除拉力，则试样 会留下一部分不能消失的变形---塑性变形。
(2) 阶段Ⅱ——屈服阶段
伸长
lBC

FNBClBC EABC

20103 400 200103 240
0.167mm
缩短
l lAB lBC 0.1 0.167 0.067mm 缩短
8.4 材料拉伸时的力学性能
一、 实验的基本情况
要对杆件进行强度、刚度分析，除了要进行应力和变形计 算以外，还必须了解组成杆件材料的力学性能。
式中， 0

F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
p cos 0 cos2 max 0


p
s in
0
2
sin 2

max

0
2
45o
FF
1
FF 平面假设: 变形前为平面的横
截面变形后仍保持平面且垂直
2
于轴线
变形前 变形后
由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的
横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
思考-- 横截面上有没有切应力？
F
F
得横截面上正应力:

F
截面积A
FN
FN
A
横截面上的各点正应力相等，
分布均匀
适用条件：
40kN A
60kN B
20kN C
400
400
40kN A
60kN B
20kN
C
1）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x l lAB lBC
－
20
l AB

FNABl AB EAAB
40 103 400 200 103 800
0.1mm
对低碳钢Q235试件进行拉伸试验，通过 曲线，整个试验过
程可以分为四个阶段:
• 弹性阶段 • 屈服阶段 • 强化阶段 • 局部变形（颈缩）阶段
低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段Ⅰ——弹性阶段 变形完全是弹性的。
t p
弹性阶段
b a
O
Oa段应力与应变成正比
E
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应 为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计
算或积分计算。
F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili
i1 EAi
2、 横向变形
b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l
b b1 b
O
B
C
4F
3F
D 2F
2A
A
O
B
C
Fox
4F
3F
D
2F 1、求反力
2A
FN 3F
+
O
－
1F
A
易知 O处反力
仅有水平方向的分量 FOx
FOx 4F 3F 2F 0
2F
FOx 3F
+
2、画出轴力图
x
因此 FNmax=3F 在OB段， 性质为拉力
O
B
C
4F
3F
Fox
2A
FN 3F
F3
F4
I

III
F1 5kN F2 20kN F3 25kN F4 10kN
I
II
FN1 5kN FN2 15kN
F1
F2
F3
FN3 10kN
I
II
FN(kN) 15 10
+
5 0
－
-5 -10 -15
III F4
III
x
－
2 横截面上的应力
刚性板
观察中间部分，拉伸变形后， 竖线仍然垂直轴线，只是发生 了平移
+
D
3、计算应力
2F
A
OB

FNOB 2A
3F 2A
(拉)
2F
CD

FNCD A

2F A
(拉)
+
O
－
1F
最大应力位于CD段
x
max
CD

2F A
(拉)
最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。
例题 8-6
A
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。
已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面
符号为正
截面
FN FN
符号为负
截面
3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的 横截面有不同的轴力
轴力图(FN图)—显示横截面上轴力与横截面位置的关系。 截面法求轴力,绘制轴力图步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；
（3）根据分离体的平衡求出内力值。
8.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是 等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与 杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要 变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
受轴向外力作用的等截面直杆——拉杆和压杆
1.特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线
与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向 的伸长或缩短。
2. 试验仪器 A、液压式万能试验机 B、游标卡尺
3.试件和实验条件
试
件
和
实
验
条
件
常 温
、
静
载
二、低碳钢拉伸时的力学性能
低 碳 钢 的 拉 伸
2. 曲线图
由测量得到的F -L曲线可以转换为 曲线。

纵坐标 F
A
横坐标 ΔL
L
0

3. 低碳钢Q235拉伸曲线的四个阶段
m F
截面法 F
m
q
q
F
FN FN
F
F
FN
截面
FN ~ 轴向力，简称轴力
FN ~ 拉压杆件截面上分布内力系的合力， 作用线与杆件的轴线重合， 单位: Ｎ kN
FN ~ 轴力正负号规定及其他注意点 1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负
FN FN
A、轴向拉压； B、离杆件受力区域较远处的横截面。
FN
A
正应力，拉应力为“+”，压应力为
“－”
FN 轴力 A 横截面面积
1N 1m2
1Pa
1N 1mm 2
1MPa
* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。
(x) FN (x)
A( x)
x 是横截面的位置。
3. 圣维南原理
圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，除 了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力 系作用区域略远处，该影响就非常小。
有限元分析的圣维南原理
例题8- 5
阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面 积是 CD 段横截面面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正 应力的大小及其位置。
材料的力学性能是指: 材料在外力作用下表现出来的变形、 破坏等方面的特性。它主要通过实验来测定。实验均是在常温 下，宜缓慢平稳的方式进行加载的，也称为常温静载试验。
1. 拉伸试验的目的 A、测定低碳钢拉伸的力学性能。 B、测定灰口铸铁的抗拉强度。 C、观察低碳钢拉伸过程中的各种现象，并绘制拉伸曲线。
l1
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
变和横向应变存在如下的比例关系


泊松比
例题8-10
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。
8.3 轴向拉伸或压缩时的变形
1、纵向变形（轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
杆件在轴线方向的伸长 纵向应变
l l1 l
l
l
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形， 而其横向变形相应变细或变粗
纵向总变形Δl
（反映绝对变形量）
纵向线应变 l
F
F
l
例题8-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
解：
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)