§7 怎样运用理想气体状态方程解题理想气体处在平衡状态时，描写状态的各个参量（压强P 、体积V 和温度T ）之间关系式，叫理想气体状态方程，其数学表达式为：(1)MPV RT μ=此式的适用条件是：①理想气体；②平衡态。

上式中： M －气体的质量；μ－－摩尔质量；Mμ－是气体的摩尔数。

对于一定质量， 一定种类的理想气体，在热平衡下，状态方程可写为：112212PV PV M R const T T μ====此式表明：一定质量、一定种类的理想气体，几个平衡状态的各参量之间的关系。

对于种类相同的两部分气体的状态参量分别为1P 、1V 、1T 、2P 、2V 、2T ，现将其混合。

其状态参量为P 、V 、T ，则状态参量间具有下列关系式：112212PV PV PV T T T =+ 此式实质上说明了质量守恒：12M M M =+（1M 、2M 与M 分别表示混合前后的质量），按照质量守恒与状态方程是否可以得知：式（3）对不同气体也照样适合？请思考。

一、关于气体恒量R 的单位选择问题：一摩尔质量的理想气体，要标准状况下，即01P atm =，0273.15T K =，022.4V L =，故有000PV R T =。

在国际单位制()23P /,a N m m -压强体积用作单位中，R 的量值选8.31J/mol K ⋅。

因为：32331.01310/22.410/8.31/273.15N m m mol R J mol K K⨯⨯⨯==⋅； 在压强用大气压、体积用3m 时，R 的量值取38.2110/atm m mol K -⨯⋅⋅，因为：335122.410/8.2110/273.15atm m mol R atm m mol K K-⨯⨯==⨯⋅⋅ 在压强用大气压作单位、体积用升作单位时，R 的量值选0.082/atm l mol K ⋅⋅，因为： 122.4/0.082/273.15atm l mol R atm l mol K K⨯==⋅⋅ 应用M PV RT μ=计算时，压强、体积单位的选取必须与R 一致在同时温度必须用热力学温标。

二、怎样用状态方程来解题呢？1、根据问题的要求和解题的方便，倒塌选取研究对象。

研究对象选择得合理，解题就会很方便，否则会造成很多麻烦。

选择对象时，容易受容器的限制。

事实上，有时一摆脱容器的束缚，就能巧选研究对象。

选择时应注意：在独立方程的个数等于未知量的个数的前提下，研究对象的数目应尽可能地少。

最好是，研究对象的数目恰好等于待求的未知量的数目，此时，中间未知量一个也没出现。

2、描写研究对象的初、未平衡状态，即确定平衡状态下的P 、V 、T ；3、根据过程的特征，选用规律列出方程，并求解。

选择研究对象与选用规律，其根据都是过程的特征，因此，这两者往往紧密联系。

列方程时，一般用状态方程的式子多，而用状态变化方程时式子较少，故能用状态变化方程时应尽可能优先考虑。

气体的混合（如充气、贮气等）和分离（如抽气、漏气等）有关的习题不少。

对于这类习题，可从不同角度出发去列方程：①从质量守恒定律或推广到不同种类的分子气体时总摩尔数不变来考虑；②从同温、同压下的折合的加和减来考虑。

由于气体体积是温度、压强的函数，所以，在利用利用“气体折合体积的加和性”时必须注意，只有统一折算成相同温度和压强下的体积后，才可以比较。

如果将容器中的容积不变误为气体不折合即不可相加，必将得到错误结果。

③从道尔顿定律－在同温、同容积下各气体的分压强之和等于总压强来考虑。

上述三种不同的出发点，可得相同结果。

另外，用气、排气、漏气等变质量问题，如将跑出气体的体积，设想包含在气体变化后的状态中，即可转为定质量问题，从而使所建立的方程简单。

［例1］A 、B 两容器的容积分别为31250V cm =和32400V cm =，用一带活塞的K 的绝热细管连接起来。

容器A 浸入温度为1373T K =的恒温沸水槽中，容器B 浸在温度为2273T K =的冷水冷液中。

开始时，两容器被关闭着的活拴隔开。

容器A 中理想气体的压强1400P mmHg =，B 中的压强为2150P mmHg =，求活拴打开后，两容器中的平衡压强。

（图2－7－1）［解法一］从质量守恒定律考虑：因为两容器内气体的总质量不变，所以从A 迁移到B 的质量应当相等：12(1)M M ∆=∆1111M PV RT μ=1111(2)RT PV M μ⎛⎫∴∆=∆ ⎪⎝⎭2222M PV RT μ=2222(3)RT PV M μ⎛⎫∴∆=∆ ⎪⎝⎭由式（2）、（3）得1M ∆、2M ∆，代入（1）式得： ()()112212P V P V RT RT μμ∆∆= 即：()()111222P P V T P P V T -=- 由此可以解得： 1122211221PV T PV T P V T V T +=+ ［解法二］取A 、B 整体作为研究对象，从整体系统的总摩尔数（总质量）始终不变出发来考虑。

初态：12111222M M PV RT PV RT μμ==11221212(1)PV PV M M R T T μ+∴+=终态： 121212(2)PV PV M M R T T μ+∴+=式（1）、（2）右边相等，故其左边也应相等。

经整理得：1122121212PV PV T T P V V T T +=+ 检核：式（1）、（2））中P 、V 的角标1、2全部高调换，式子不变，故这是对称性方程。

既然如此，式（3）中P 、V 的所有角标1、2也进行全部调换，结果没有变化。

可见，答案无误。

［解法三］从气体体魄全体加和性出发来考虑，按下法选取研究对象。

把变质量问题化为定质量问题，从可以利用气态方程来解：当活栓打开后，容器A 中有一部分状态为1P 、1V 、1T 的气体占体积1V ∆，跑到容器B 中去而处于状态为P 、T 2、V 2下占据体积2V ∆（注意12V V ∆≠∆），选择11V V -∆这部分气体作为研究对象，其质量为1M M -∆，打开活塞后膨胀成体积V 1；另选22V V +∆的气体为研究对象，其质量为2M M +∆，打开活塞后收缩为V 2。

在变化过程中，这两个研究对象的质量都滑有变化，故适用气态方程。

，它们都服从等温过程，且达到同一压强：对容器A ： ()111111(1)P V V PV T T -∆= 对容器B ： 222222()(2)P V V PV T T +∆=式（1）、（2）中除了待求的未知量P 以外，还有两个中间未知量1V ∆、2V ∆，因此，还得建立新的方程。

考虑到A 迁移到B 的气体质量相同，故有：112212P V P V M R T T μ∆∆∆== 即：211212PT V V PT ∆=∆ 代入式（1）得：11221121PV P V PV T T T ∆-= 与式（2）相加，即可解得：()1122121212400250150400373273229250400373273PV PV T T P mmHg V V T T ⨯⨯++===++ ［例2］氧气瓶的容积30L ，瓶中氧气的压强130atm 。

氧气厂规定：当压强下降到10atm 时，就应当重新充氧气。

有一个车间，每天用40L 的1atm 的氧气。

问这瓶氧气至多可用几天？（设使用温度不变）。

［解法一］把瓶内充足了氧气作为研究对象，并看成理想气体。

这时，11130,30P atm V L ==。

先设想把氧气瓶的体积等温扩大，使压强降到210P atm ，设其体积为V 2，则根据玻意耳－马略特定律有：1122(1)PV PV =将已知数据代入得： 33600V L =可见每天用40L ，可用90天。

［解法二］由解法一中的式（1）代入式（2），得：112222112333333030V P P P PV V P P V P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭===- 即： ()33112PV V P P =-()11233V P P V P -= 这里告诉我们一种思维方法，即：一题多解的解法之间，有的存在有机联系，如解法中的两个方程，可以合成一个，直接可得V 3。

［解法三］以M 、M 1、M 2分别表示氧气瓶中氧气的质量，氧气瓶中余下的氧气质量以及用了的氧气的质量。

并以x 表示所用的天数，则：12M M x M -= 式中 PV M RTμ= 111PV M RT μ=222PV M RTμ= 于是有： ()112213030103090140PV PV x PV -⨯-⨯===⨯天 ［解法四］设剩余在氧气瓶中氧气的质量为M 1，供使用的氧气的质量为M 2。

则充在氧气瓶中氧气的总质量为M ＝M 1＋M 2。

再分别选取氧气瓶充氧后的氧气、被使用的那一部分氧气、剩在氧气瓶中的氧气为研究对象列出三个状态方程，且考虑三个方程中的温度相同，即可得解。

对解法三、四进行比较，解法三显然方便多了。

［例3］有一种测定气体摩尔质量的方法是：将容器为V 的容器充满测气体，出其压强为P 1，温度为T 。

并用天平称出容器连同气体的质量为m 1；然后放掉一部分气体，使压强降到P 2，而保持温度不变，再称出容器连同气体的质量为m 2，通过计算，即可求得该气体的摩尔质量μ。

［分析］这是一个变质量问题。

题设的质量为m 1、m 2不是气体的质量，而是气体连同容器的质量。

如何求得气体的质量呢？设容器的质量为m 。

则这两种气体质量分别为1m m -、2m m -，在解题过程中，m 这个中间未知量肯定消去。

［解法一］将容器中气体作为研究对象，并视为理想气体，则可列出放气前后的状态方程：1122(1)(2)m m PV RT m m PV RT μμ-=-= 由式（1）得：11PV m m RT μ=-。

代入式（2）得：1212PV m m RT PV RT μμ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦= 即：2121PV PV m m RT RTμμ-=- 经过整理即得： 1212m m RT P P V μ-=-［解法二］因为：MPV RT μ=。

当V 、T 、μ为常数时，可得：()()RT V P M μ∆=∆此时压强的变化是由于质量的变化造成的，且两者成正比：2121,P P P M m m ∆=-∆=- 于是得： 2121m m RT P P V μ-=- 显然这种方法简单得多了。

［例4］在00C 时1大气压的甲气体为100cm 3，与100C 时的5大气压的乙气体200cm 3混合在150cm 3的容器中。

求300C 时混合气体的压强。

［分析］300C 时混合气体状态变化后的压强： 322232225,200,27310283?,200,27330303P atm V cm T KP V cm T K ===+='''===+=初态：终态：根据气态方程有： ()222222P V T 5200303P 7.14atm T V 283150'⨯⨯''⨯＝＝＝ 根据道尔顿侵夺定律，混合气体的压强为：()127.140.747.88P P Patm ''=+=+=。