9x2
x3 9x2
dx271cos2dcos
x3sin
2 7 c o s 9 c o s3 C
cos 9 x2
3
3
x
9 x2
99x29x2323C .
目录 上页 下页 返回 结束
Example 3.
dx (x a).
x2 a2
Solution. Let x a se t,t c(0 ,π 2 ), then
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
Example 2. Evaluate the indefinite integral
Solution.
x3 dx,3x3.
9x2
Let x3sin, 2,2, then
dxd3sin3cosd, 9x2 99sin23cos.
Example 4. Evaluate the indefinite integral
Solution.
dx
4
x
2
2
1
x 1 tan
dx 4x2 1 2
2
sec d
目录 上页 下页 返回 结束
Example 5. Evaluate the indefinite integral
Solution 2.
Chapter 7 Integration Techniques, L’Hospital
Rule, and Improper Integrals
7.1 Basic Integration Formulas 7.2 Integration by Parts 7.3 Partial Fractions 7.4 Trigonometric Substitutions 7.5 Integral Tables, CAS, and Monte Carlo
Therefore,
x3 9x2
dx23 7cso in s33cosd27
sin3d
27sin2sind 2 7 1 c o s2d c o s
目录 上页 下页 返回 结束
Example 2. Evaluate the indefinite integral
Solution.
x3 dபைடு நூலகம்,3x3.
Solution 2.
dx
x2 x2 a2
dx
x1 t
x2 x2 a2
t dt
a2t2 1
1 2a2
d a2t2 1 a2t2 1
a12 a2t2 1C
x2 a2
C
a2x
目录 上页 下页 返回 结束
Exercises
P569 3, 9, 12, 18, 22, 25. P560 34.
x2a2a2sec2ta2atatn
dx asettcatd nt
∴I
asetctatndt atant
sectdt
ln se t tca t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C (C C 1ln a)
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
dx
x
x2 1
d x
xdx 1
dx2
x x2 1
x2 x2 1 2 x2 x2 1
1 x 2 t
dt
2 t t1
t 1 u
1
d u2 1
2 u 2 1 u
du u2 1
目录 上页 下页 返回 结束
Example 6. Evaluate the indefinite integral
目录 上页 下页 返回 结束
Integration 7.6 L’ Hospital Rule 7.7 Improper Integrals
目录 上页 下页 返回 结束
7.4
Trigonometric Substitutions
(三角代换)
目录 上页 下页 返回 结束
In this section, we consider the integrals involving a2 x2 , a2 x2 , x2 a2.