高中数学学案：正余弦定理及其简单应用1. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．2. 能运用正余弦定理解决三角形中的有关问题.1. 阅读：必修5第5～17 页．2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？你会证明吗？②正余弦定理可以解决哪些类型的斜三角形；③第10页例5中所证明的结论是一个什么定理？你会证明吗？你会使用吗？④重解第16页例5和例6,体会方法和规范．3. 践习：在教材空白处,完成第10页练习第4、5题；第15页练习第3、4、5题；第16页练习第1、2、3题；第17页习题第5、6、10题.基础诊断1. 在△ABC 中,若b ＝2,A ＝π3,B ＝π4,则BC ＝．解析：因为b ＝2,A ＝π3,B ＝π4,所以由正弦定理得BC ＝b sin Asin B ＝2×3222＝ 6.2. 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a 2＝b 2＋c2－bc,bc ＝4,则△ABC 的面积为．解析：因为a 2＝b 2＋c 2－bc,所以cos A ＝12,A ＝π3.又bc ＝4,所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3. 3. 在△ABC 中,已知A ＝π6,c ＝3a,则△ABC 的形状是__等腰三角形或直角三角形__． 解析：A ＝π6,c ＝3a,所以sin C ＝3sin A ＝32.因为0<C<π,所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时,△ABC为直角三角形,当C ＝2π3时,△ABC 为等腰三角形．4. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A ＝a cos C,则角C ＝__π4__．解析：由正弦定理可得a sin A ＝csin C ,所以sin C sin A ＝sin A cos C.又因为A ∈(0,π),所以sin A ≠0,所以sin C ＝cos C,即tan C ＝1.因为C ∈(0,π),所以C ＝π4.范例导航考向❶直接用正、余弦定理解三角形例1在平面四边形ABCD中,∠ADC＝90°,∠A＝45°,AB＝2,BD＝5.(1) 求cos∠ADB；(2) 若DC＝22,求BC.解析：(1) 在△ABD中,由正弦定理得BDsin A＝ABsin∠ADB.由题设知5sin45°＝2sin∠ADB,所以sin∠ADB＝2 5.由题设知0°<∠ADB<90°,所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2) 由题设及(1)知,cos∠BDC＝sin∠ADB＝2 5.在△BCD中,由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25,所以BC＝5.在△ABC中,a＝7,b＝8,cos B＝－17.(1) 求角A的大小；(2) 求AC边上的高．解析：(1) 在△ABC中,因为cos B＝－17,所以B∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π,所以sin B＝1－cos2B＝437.由正弦定理得asin A＝bsin B,即7sin A＝8437,所以sin A＝3 2.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以A ＝π3.(2) 在△ABC 中,sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A·cos B ＋sin B cos A ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314.如图所示,在△ABC 中,因为sin C ＝h BC ,所以h ＝BC·sin C ＝7×3314＝332,所以AC 边上的高为332.【注】 本例主要训练解三角形时,已知两边及其一边所对的角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理. 另外,注意互余的两个角的正余弦关系. 考向❷ 边角互化例2 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,b sin C ＋2c sin B cos A ＝0. (1) 求A 大小；(2) 若a ＝23,c ＝2,求△ABC 面积S 的大小． 解析：(1) 方法一(边化角)：由b sin C ＋2c sin B cos A ＝0得sin B sin C ＋2sin C sin B cos A ＝0. 因为B,C ∈(0,π),所以sin B ≠0,sin C ≠0, 所以cos A ＝－12. 又A ∈(0,π),所以A ＝2π3.方法二(角化边)：由b sin C ＋2c sin B cos A ＝0得bc ＋2bc b 2＋c 2－a 22bc ＝0,所以bc ＋b 2＋c 2－a 2＝0,所以cos A ＝－12.又A ∈(0,π),所以A ＝2π3.(2) 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ,即－12＝b 2＋4－124b,解得b ＝2或b ＝－4(舍去),所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×2sin 2π3＝ 3.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且b cos A －a cos B ＝2c.(1) 证明： tan B ＝－3tan A ；(2) 若b 2＋c 2＝a 2＋3bc,且△ABC 的面积为3,求a 的值． 解析：(1) 根据正弦定理,由已知得： sin B cos A －cos B sin A ＝2sin C ＝2sin (A ＋B),展开得sin B cos A －cos B sin A ＝2(sin B cos A ＋cos B sin A), 整理得sin B cos A ＝－3cos B sin A, 由题意知cos B ≠0,cos A ≠0, 所以tan B ＝－3tan A.(2) 由已知得b 2＋c 2－a 2＝3bc, 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32,由0<A<π得A ＝π6,所以tan A ＝33. 由(1)知tan B ＝－ 3. 由0<B<π得B ＝2π3, 所以C ＝π6,故该三角形是顶角为2π3的等腰三角形,且a ＝c.由S ＝12ac sin 2π3＝12×32a 2＝3得a ＝2.【注】 本例主要用于训练条件中既有边又有角时,统一角(边),可采用角化边或边化角思想. 另外,条件中有切有弦时用切化弦的思想. 在化简式子过程中约去一个式子(数),根据角的范围来确定式子(数)是否为零．考向❸ 含角平分线或中线的边角求解例3 在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD ＝2DC.(1) 求sin B sin C ；(2) 若∠BAC ＝60°,求角B 的大小． 解析：(1) 由正弦定理得ADsin B ＝BDsin ∠BAD,AD sin C ＝CDsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC,BD ＝2DC, 所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2) 因为C ＝π－(∠BAC ＋∠B),∠BAC ＝π3, 所以sin C ＝sin (∠BAC ＋∠B)＝32cos B ＋12sin B.由(1)知2sin B ＝sin C,所以tan B ＝33.因为0<B<π,所以B ＝π6.如图,在△ABC 中,BC 边上的中线AD 长为3,且cos B ＝108,cos ∠ADC ＝－14. (1) 求sin ∠BAD 的值； (2) 求AC 边的长.解析：(1) 因为cos B ＝108,所以sin B ＝368.又cos ∠ADC ＝－14,所以sin ∠ADC ＝154, 所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC －∠B) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝154×108－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×368＝64.(2) 在△ABD 中,由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ,即3368 ＝BD64 ,解得BD ＝2,故DC ＝2.在△ADC 中,由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DC cos ∠ADC ＝32＋22－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16,所以AC ＝4.【注】 本例以必修5第10页例5和第16页例6为模型．考察三角形中遇角平分线或中线如何解三角形．自测反馈1. 在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4,则最大角的余弦值为__－14__．解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4,所以根据正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4,可得C 为最大边,则C 为最大角,设a ＝2k,b ＝3k,c ＝4k(k>0),所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋9k 2－16k 212k 2＝－14,即最大角的余弦值为－14.2. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a ＝3,C ＝120°,△ABC 的面积S ＝1534,则c ＝__7__．解析：因为a ＝3,C ＝120°,△ABC 的面积S ＝1534,所以1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°,解得b ＝5.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋25－2×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49,则c ＝7.3. 已知在△ABC 中,AB ＝3,BC ＝1,A ＝30°,则AC ＝__1或2__．解析：因为在△ABC 中,AB ＝3,BC ＝1,A ＝30°,由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A,即AC 2－3AC ＋2＝0解得AC ＝1或2.4. 在△ABC 中,已知a 2tan B ＝b 2tan A,则△ABC 的形状是__等腰三角形或直角三角形__． 解析：因为a 2tan B ＝b 2tan A,所以a 2·sin B cos B ＝b 2sin A cos A ,由正弦定理可得sin 2A·sin B cos B ＝sin 2B·sin Acos A .又因为A,B ∈(0,π),所以sin A sin B ≠0,所以sin A cos B ＝sin Bcos A ,即sin A cos A ＝sin B cos B,即sin 2A ＝sin 2B,因为A,B ∈(0,π),所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1. 已知三角形的三边或两边和它们的夹角,适合用余弦定理求解,同时要注意方程思想的运用．若已知条件中涉及边的平方关系或角的余弦,通常也用余弦定理．2. 正弦定理一般解决两类问题：①已知两角和任一边,求解三角形；②已知两边及其中一边的对角,求解三角形．第②类问题也可以用余弦定理解．用正弦定理解,需注意对解的情况的讨论．3. 解三角形时要合理地进行边角互化,若已知条件中有边、角混合的式子,通常要化异为同,体会等价转化的数学思想．4. 你还有哪些体悟,写下来：。