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例5 已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(3-x)(a>0且a≠1). (2)利用对数函数的单调性,讨论不等式f(x)≥g(x)的解集.
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知识辨析
×
√ [解析] 函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,y=2x-3是R上的增函数,故函数
f(x)=ln x+2x-3是(0,+∞)上的增函数.f(1)=ln 1+2-3=-1<0,f(2)=ln 2+2×2-3=ln
2+1>0,所以函数f(x)=ln x+2x-3在区间(0,+∞)上存在一个零点.
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(2)当x∈(0,+∞)时,若三个幂函数y=xa,y=xb,y=xc在同一坐标系 中的图像如图T6-1所示,则a,b,c的大小关系是 ( C )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>b>c D.a>c>b
图T6-1
[解析]由题图知y=xa在(0,+∞)上是增函数,且当x>1时,y=xa的图像在直线y=x
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C
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C
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C
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题型四 参数问题与恒成立问题 [类型总述] (1)基本初等函数中的参数问题;(2)不等式恒成立问题的解法.
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例5 已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(3-x)(a>0且a≠1). (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域;素养提升苏教版源自2019）必修第一册素养提升
题型一 幂函数 [类型总述] (1)幂函数的定义;(2)幂函数的图像与性质.
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D
[解析]因为函数f(x)=(m2-2m-2)xm-1是 幂函数,所以m2-2m-2=1,解得m=-1或 m=3.又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以m=3,所以f(x)=x2,从而f(2)=22=4, 故选D.
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
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题型二 函数的图像 [类型总述] (1)作与基本初等函数有关的函数的图像;(2)根据已知函数判断函 数的图像;(3)函数图像的应用.
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B
A
B
C
D
图T6-2
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第六章 幂函数、指数函数、对数函数 本章总结提升
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知识网络
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知识辨析
√ [解析] f(x)=x-2是偶函数,其图像关于y轴对称.
√ [解析] 由图像知结论正确.
√
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知识辨析
×
√ [解析] 根据题意得x2-2x=x,解得x=3或x=0.又x2-2x>0且x>0,所以x=3.
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(2)函数f(x)=(x-x3)2|x|的图像大致是
(B )
A
B
C
D
图T6-3
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(3)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=x2-2xlog2a和g(x)=ax在同一个平面直角坐标系 内的图像可能是( B )
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题型三 指数函数、对数函数性质的综合应用 [类型总述] (1)判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性;(2)基本初等函数的 单调性判断及应用;(3)利用单调性比较大小.
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D
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(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当 x≥0时,f(x)=log2(x+4)-2,则f(-4)= ( B ) A.1 B.-1 C.2 D.-2
的上方,∴a>1;y=xb在(0,+∞)上是增函数,且当x>1时,y=xb的图像在直线y=x的 下方,∴0<b<1;y=xc在(0,+∞)上是减函数,∴c<0.∴a>b>c.故选C.
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B
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(2)设a∈{-1,1,2,3},则使函数y=xa的值域为R且为奇函数的所有a的值为( A )
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考向二 比较大小 例4 (1)若a=log20.5,b=20.5,c=0.52,则 a,b,c三个数的大小关系是( C ) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b
[解析] a=log20.5<0,b=20.5>1,0<c= 0.52<1,则a<c<b,故选C.
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[解析]函数f(x)是定义在R上的奇 函数,则f(-4)=-f(4),又 f(4)=log2(4+4)-2=3-2=1,所以f(4)=-1,故选B.
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D
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C
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x=log34
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A
B
C
D
图T6-4
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[解析]当a>1时,g(x)=ax是增函数,只有C,D满足,此时f(x)图像的对称轴是 x=log2a>0,C,D都不满足,不合题意;当0<a<1时,g(x)=ax是减函数,只有A,B满 足,此时f(x)图像的对称轴是x=log2a<0,只有B满足.故选B.
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1
图T6-5
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(2)已知函数f(x)=4+loga(2x-3)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P,且点P在函数 g(x)=xα的图像上,则α= 2 .
[解析]令2x-3=1得x=2,此时f(2)=4,∴函数f(x)=4+loga(2x-3)(a>0且a≠1)的图 像恒过定点(2,4),即P(2,4).又∵点P在函数g(x)=xα的图像上,∴2α=4,∴α=2.