1.【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+12. 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f(1)已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式。

(1)解法一：【换元法】设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，∴x ＝（t －1）2 ∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1）∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）3.【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，用换元法有困难时(2)已知f （x ＋x 1）＝x 3＋x1，求f (x )的解析式。

(2)∵x 3＋31x ＝（x ＋x 1）（x 2＋21x－1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x 1）2－3]∴f （x ＋x 1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x1）2－3]∴f （x ）＝x （x 2－3）＝x 3－3x ∴当x ≠0时，x ＋x 1≥2或x ＋x1≤－2 ∴f （x ）＝x 3－3x （x ≤－2或x ≥2）4. 【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

（7）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x12()()3f x f x x +=①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．5.【赋值法】(特殊值代入法)在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

例已知()()()()12,10+--=-=b a b a f b a f f ，求)(x f 的解析式分析：等式()()()12+--=-b a b a f b a f 中，含有两个未知量，令其中一个未知量为某些特殊值，就可以使等式减少一个变量，从而达到求解目的。

解： 令0=a ，则()()()12+--=-b a b a f b a f 为()()()10+--=-b b f b f 即()12+-=-b b b f ，再令x b =-，得()12++=x x x f6．利用函数性质（奇偶性、周期性、对称性等）（本质是相关点法）题6．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， x e x e x f +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.练习6．对x ∈R ， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x ∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x ∈[9，10]时)(x f 的表达式.（11）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。

①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式。

①证明：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=．②解：当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．③解：∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01f x k x x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =- ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩1奇偶性：例5设f （X ）是定义在R 上的奇函数，当X>0时，f x x x ()lg()=+-+1212.试求此函数的解析式.解：（1）当X ＝0时，f f f ()()()000=-=-，于是f()00=；（2）当X<0时，->x 0，则f x x x ()lg()()-=-+--+1212，由于f （X ）是定义在R 上的奇函数，则f x f x x x ()()lg()=--=--++-1212此函数的解析式为f x x x x x x x x ()lg()()()()=--++-<=-+>⎧⎨⎪⎩⎪121000210232变式思考：上式若改为偶函数，利用f(X)= -f(-X)求解析式. 2周期性：例6 已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()1f x x =+. 求()f x 在(1,2)上的解析式. 解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵(1,2)x ∈ , 则(2,1)x -∈-- ∴2(0,1)x -∈, ∵ 2T =，是偶函数∴ ()()(2)213f x f x f x x x =-=-=-+=- (1,2)x ∈ 解法2：（从图象入手也可解决，且较直观）()(2)f x f x =+如图：(0,1)x ∈, ()1f x x =+.∵是偶函数 ∴(1,0)x ∈-时()()1f x f x x =-=-+ 又周期为2，(1,2)x ∈时2(1,0)x -∈- ∴()(2)(2)13f x f x x x =-=--+=-3轴对称性例7已知函数y ＝f (X )的定义域为R ，函数y ＝f (X )的图象关于直线X ＝2对称； 若X>2时，f (X )＝2X －1，求X<2时的f (X )的表达式．解 任取X<2,则4－X>2,由于函数关于直线X ＝2对称，则有f (X )＝f (4－X )，故 f (X )＝f (4－X )=2（4－X ）－1=－2X +7.上式用到函数y ＝f (X )的图象关于直线X ＝a 对称,则有f(X)=f(2a-X)这一结论.4点对称例8求与函数f(X)=X 2+2X-5关于点A （1，2）对称函数g(X)的解析式.解：在y=g(X)上任取一点p(X,y),则点p 关于点A 的对称点为P `′(2-X,4-y)在函数y=f(X)上，有4-y=(2-X)2+2(2-X)-5. 则有y=g(X)=-X 2+6X+1若对称点为原点，则变为大家熟悉的将X 变为-X ，将y 变为-y .例10、已知函数)(x f 是以4为周期的周期函数，且当]2,2[-∈x 时，1)(+=x x f ，求当]42,2[+∈n n x 时，)(x f 的解析式。

解：①当n 为奇数时，)1(222+=+n n 为4的倍数，当]42,2[+∈n n x ，则]2,2[)22(-∈+-n x ，又)(x f 是以4为周期的周期函数，⎩⎨⎧=+-++-=+-∴)()]22([1)22()]22([x f n x f n x n x f ，所以121)22()(时，]42,2[--=++-=+∈n x n x x f n n x ②当n 为偶数时，42,2+n n 都是4的倍数， 当]22,2[+∈n n x 时，]2,0[2∈-n x 类似①可得12)2()(+-=-=n x n x f x f当]0,2[)42(时，]42,22[-∈+-++∈n x n n x 同理有321)42()]42([)(--=++-=+-=n x n x n x f x f故当n 为奇数时，]42,2[,12)(+∈--=n n x n x x f ， 当n 为偶数时，⎩⎨⎧++∈--+∈+-=])42,22[(,32])22,2[(,12)(n n x n x n n x n x x f7．归纳递推法题7．设11)(+-=x x x f ，记{})]([)(x f f f x f n =，求)(2004x f . 例13：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f . 解：a a f f a f 2124212)1(212)2(,)1(+-=+=+== a a f f 202124)212(212)2(212)3(+-=++=+=a a f f 312124)413(212)3(212)4(+-=++=+=-a a f f 422124)81213(212)4(212)5(+-=++=+=-………………………………，依此类推，得a x f x x 132124)(--+-=8．相关点法题8．已知函数12)(+=x x f ，当点P(x ，y)在y=)(x f 的图象上运动时，点Q(3,2x y -)在y=g(x)的图象上，求函数g(x).9. “即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

例8. 对定义域分别是g f D D 、的函数)x (g y ),x (f y ==，规定：函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=g f g f g f d x D x ),x (g ,D x D x ),x (f D x D x ),x (g )x (f )x (h 且当且当且当若2x )x (g ,1x 1)x (f =-=，写出函数)x (h 的解析式。

解：⎪⎩⎪⎨⎧=+∞-∞∈-=1x ,1),,1()1,(x ,1x x )x (h 210.十、递推法：例11、设定义在*N 集上的函数)(x f ，满足,1)1(=f 且对于*,N y x ∈∀，xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f 的解析式。