B．x0>a
C．x0<b
D．x0<c
答案
解析 由f(x)＝2x－log
1 2
x，可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递
增．因为实数a>b>c>0满足f(a)f(b)·f(c)<0，所以f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0
或有1个小于0,2个大于0，如图，则A，B，C可能成立，D不可能成立．故
－b)>0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)
内．
解析 答案
3．(2019·青岛二中模拟)已知函数f(x)＝2x－log12x，且实数a>b>c>0满足
f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不可能成
立的是( )
A．x0<a
解析 因为f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，所以方程x2＋kx＋k＝0无实 根，所以Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型 一 求函数的零点或判断其所在的区间
2x－1，x≤1， 1．(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝1＋log2x，x>1，
则函数f(x)的零点为( )
x2－2x，x≤0， 1．已知函数f(x)＝ 1＋1x，x>0，
则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是
() A．0
B．1
C．2
D．3
答案
解析
x2＋x，x≤0， 由已知得y＝f(x)＋3x＝ 1＋1x＋3x，x>0.
令x2＋x＝0，解得x＝
0或x＝－1.令1＋1x＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方 程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
解析 答案
3．函数f(x)＝1x2＋＋lxg，x，x≤x>00， 的零点是__－__1_,_0_，__11_0____． 解析 当x>0时，由1＋lg x＝0，解得x＝110；当x≤0时，由x2＋x＝0， 解得x＝0或－1.所以函数f(x)的零点是－1,0，110.
解析
题型 二 函数零点个数的判定
数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.
解析
判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零 点．如举例说明1. (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判 断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函 数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数．如举例说明2.
－12x＝0的解的个数，即方程x12＝12x的解的个数，
也就是函数y＝x12与y＝12x图象的交点个数．在同一
坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.故函数f(x)＝x12－12x零点 的个数为1.
解析 答案
(4)若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是 __(_0_,_4_) __．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)
的图象
与x轴的交点
01 __2__
02 __1__
无
零点个数
03 __2__
04 __1__
0
1．概念辨析 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b) ＜0.( ) (3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没 有零点．( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且 只有一个零点．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C.2，52
D.2，130
解析
由题意知方程ax＝x2＋1在
12，3
上有解，即a＝x＋
1 x
在
12，3
上
有解，设t＝x＋ 1x ，x∈ 12，3 ，则t的取值范围是 2，130 .∴实数a的取值范围
是2，130.
解析 答案
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等 式确定参数范围． (2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，然后数形结合求解．如举例说明1. (3)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解 决．如举例说明2.
1
PART ONE
基础知识过关
1.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 01 __f_(_x_)＝__0___的实数x叫做函 数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．用二分法求函数f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1) ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若 01 ___f_(a_)_·_f(_x_1)_<_0___，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ③若 02 ___f_(x_1_)_·f_(b_)_<_0___，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复(2)～(4)．
两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因
为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c
1．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是 ____－__14_，__2____．
解析 ∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点， ∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解， 即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a＝4x－2x， 可变形为a＝2x－122－14， ∵x∈[－1,1]，∴2x∈12，2， ∴2x－122－14∈－14，2. ∴实数a的取值范围是－14，2.
1．(2020·河南南阳月考)函数f(x)＝ x－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
解析
先研究f(x)在区间[0,1]内的零点．因为f′(x)＝
1 2x
＋sinx，
x
>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点 的是( )
解析 能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符 号相反，由图象可得，只有A不满足此条件．故选A.
解析 答案
(3)函数f(x)＝x12－12x零点的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 函数f(x)＝x12－12x零点的个数是方程x12
解析
2．已知函数f(x)＝
|x|，x≤m， x2－2mx＋4m，x>m，
其中m>0.若存在实数b，使
得关于x的方程f(x)＝b有∞_)___．
解析 f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三
个不同的根，只需4m－m2<m，又因为m>0，所以m>3.
第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程
[考纲解读] 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能 够判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点) 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数 零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在．预测 2021年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要 命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.
选D.
解析
函数零点所在区间的判断方法及适合题型
方法
解读
适合题型
解方 可先解对应方程，然后看所求 当对应方程f(x)＝0易解时．如
程法 的根是否落在给定区间上
举例说明1
利用函数零点的存在性定理进 能够容易判断区间端点值所对
定理法
行判断
应函数值的正负．如举例说明2
画出函数图象，通过观察图象 容易画出函数的图象．如举例
解析 答案
题型 三 函数零点的应用
角度1 根据函数的零点(或方程的根)的个数 求参数
－ex，x≤0，
1．(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝
ln
x，x>0
(e为自然对数的底
数)，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是
() A．a>－1
B．－1<a<1
C．0<a≤1
D．a<1
答案
2．小题热身