Q Ò P d S q (S )
乙 d
ur ur PdS
r P
d
ur S
dq
dt (S )
(S ) t
dt
而极化电荷的连续方程应为
Ò 由此可见， 乙 (S)
r P t
ur dS=
(S )
r jP
(S )
ur dS
r jP
d
ur S
dq dt
（1）式右端第二项是由极化电荷的运动引起的电流。
(V )
(V )
r 上式对任何体积V都成立，被积函数本身应相等，故得
D e0
这就是高斯定理的微分形式。
对于r 安培环路定理，假定传导电流是体分布的，其
Ñ 密度为 j0
，则有
(L)
r H
v dl
(S
)
(
r j0
uv D) t
r dS
利用斯托克斯定理(Stokes theorem)，把上式左端的
(S2 )
(S1 )
(S)
但在非恒定情形下，上式不成立。最突出的例子是电
容器的充放电电路。如果取 S1 与导线相交， S2 穿过电容 器两极板之间，则有
r j0
r dS
0，
r j0
r dS =0
( S1 )
(S2 )
即
r j0
r dS
r j0
r
dS =Ò
r j0
r dS
0
(S2 )
(S1 )
电需 磁要 波媒 不介
赫兹于1888年用类似上述的振荡偶极子产生了电磁波， 他的实验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在。
图a是赫兹的实验装置，当充电到一定程度间隙被火花击 穿时，两段金属杆连成一条导电通路，这时它相当于一个振 荡偶极子，在其中激起高频的振荡。感应圈以10-100Hz的频 率一次一次地使火花间隙充电，但是由于能量不断辐射出去 而损失，每次放电后引起的高频振荡衰减得很快。因此赫兹 振子中产生的是一种间歇性的阻尼振荡（图b）。
e
8.2 电磁波
8.2.1电磁波的产生和传播
LCR电路中的电容器充电后，电荷q满足的微分方程是
L
d 2q dt 2
R
dq dt
q C
0
在电阻R较小时，它的解具有阻尼振荡的形式：
q q0et cos(0t )
这里
R 2L
，0
1或
LC
f0
0 2
2
1 LC
为了产生持续的电磁振荡，必须把LCR电路（下面 简称LC电路）接在电子管或晶体管上，组成振荡器， 靠电路中的直流电源不断补给能量。
Ò 线积分化为面积分：
r H
(S)
r dS
(S)
(
r j0
uv D) t
r dS
因为上式的积分范围可以任意，被积函数本身必须相
等，故得
r H
r j0
uv D t
麦克斯韦方程组中其他两个方程的微分形式都可按此
法推出，最后得到下列四式：
散度 (divergence)
旋度 (curl)
r
D e0 r
a
b
c
d
电磁振荡能够在空间传播，就是靠两条（1）变化的 磁场激发涡旋电场；（2）变化的电场（位移电流）激发 涡旋磁场
在空间某处有一个电磁振源，在这里有交变的电流或 电场，它在自己周围激发涡旋磁场，由于这磁场也是交变 的，它又在自己周围激发涡旋电场。交变的涡旋电场和涡 旋磁场相互激发，闭合的电力线和磁感应线就像链条的环 节一样一个个地套连下去，在空间传播开来，形成电磁波。
r E
B
r
t
(ⅰ)
B 0 r
H
r j0
r D t
以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯 韦方程组，大都指它的微分形式。
在介质内，还需补充三个描述介质性质的方程式， 对于各向同性线性介质来说，有：
r
r
D r B r j0
0
E r
r0 H
E
(ⅱ)
麦克斯韦方程组(ⅰ)加上描述介质性质的方程组(ⅱ)， 全面总结了电磁场的规律，是宏观电动力学的基本方程 组，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场问题。
en g(D2 D1) e0或D2n D1n e0
Ò 把电流的连续方程
dq0 dt
+
(S)
uuv j0
d
uv S
0运用于扁盒状高斯面，
还可得到传导电流密度法线分量的边界条件：
uuv uuv en g( j02
uuv j01 )
e0
t
或( uuv
j02 )n uuv
( j01)n uuv
Ñ r r E dl
r B
r dS
(L)
(S ) t
静电场的环路定理是它的一个特例。
没有发现电场的高斯定理和磁场的高斯定理有什么不合
理的地方，麦克斯韦假定它们在普遍情形下应该成立。然而
麦克斯韦在分析了安培环路定理后，发现将它应用到非恒定
情形时遇到了矛盾。在恒定条件下，安培环路定理可写成
uuv v
uv v
把Ñ E dl 0运用到狭长矩形回路上，就得到电场强度 （L）
切线分量连续性的条件： uuv uuv uuv en (E2 E1) 0或E2t E1t
（3）导体界面上的边界条件 uv uv
把高斯定理Ò D d S q0运用于扁盒状高斯面上， (S)
便会得到电位移矢量的法线分量的边界条件为 uuv uuv uuv
rr
Ñ H dl I0 = j0 dS
(L)
(S)
要想上式有意义，必须穿过以L为边界任意曲面的传导
电流都相等。具体地说，如果以L为边界取两个不同的曲面
S1 和 S2 ，则应有
rr rr
j0 dS = j0 dS
L
(S1 )
(S2 )
rr rr rr
或 j0 dS j0 dS =Ò j0 dS 0
H 2或E2
C
l uDuv uv
H 1或E1
（2）电介质界面上的边界条件 uv uv
把高斯定理Ò D d S q0运用到扁盒状高斯面上，
(S)
并考虑到两介质分界面上没有自由电荷（即q0 =0）， 就得到电位移法线分量连续性的条件： uuv uuv uuv en g(D2 D1) 0或D2n D1n
在一个极板表面内、外两侧各作一面S1和S2 ,
因为D内 0，D外 e0
则通过S1的全电流为
j0
D内 t
S
j0 S
I0
则通过S2的全电流为
d
dt
D
D外 t
S
e0
t
S
因j0
=e0t源自，故以上两表达式相等。这样，在电容器
极板表面中断了的传导电流I0被间隙中的位移电流
d
dt
D
接替下去，二者合在一起保持着连续性。
在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。
首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分
布的，设电荷的体密度r 为re0 ，则高斯定理可写成
Ò D dS e0dV
(S)
(V )
式中V是高斯面S所包围的体积
利用矢量分析中的高斯定理可把上式左端的面积分
化为体积分：
r
DdV e0dV
由于全电流具有连续性在非恒定情况下，应该用它来 代替磁场环路定理右端的传导电流，即：
Ñ(L)
r H
v dl
I0
dD dt
以上便是麦克斯韦的位移电流假说。
r rr
在电介质中
位移电流为
D
0
E
P r
dD D
dt （S） t
r dS
r
E
0 （S）
t
r dS
r P （S）t
r dS
（1）
ur ur
rr D dS
代表通过某一曲面的电位移通量
(S)
则有 dD
r D
r dS
dt (S ) t
麦克斯韦把 dD 这个量叫做位移电流(displacement
dt
r
current)，Dt
是位移电流密度。
rr
传导电流 I0 j0 dS 与位移电流合在一起
称为全电流。 （S）
全电流在任何情况下都是连续的。
的面分布时，en (H2 H1) 0或H2t H1t也适用。
在高频的情况下，由于趋肤效应，电流、电场和磁场 都将分布在导体表面附近的一薄层内。若导体的电阻 可以忽略，趋肤深度ds 0，可以把传导电流看成是 沿导体表面分布的。在此有面电流分布的情况下， uuv uuuv uuv en (H2 H1) 0或H2t H1t不再成立。
考虑导体与真空（或空气）的界面。设面电流的密度为i0 . 在导体表面取一矩形回路L，运用安培环路定理于此回路 （位移电流在此可忽略）。因通过此回路的传导电流强度 uIHu0u外v、i0ir0和l，euu故vn满（足H如外t下矢H内量t）式：leuuvni0uHuul外v.又因ir0 H内t =0，故H外t i0.
(S)
因此，在非恒定的情况下，前面给出的安培环路定理 不再适用。
在非恒定情况下电流的连续原理给出
Ò( S )
r j0
r dS
dq0 dt
rr
按高斯定理： Ò D dS =q0
(S)
乙 从而 dq0 = d
rr D dS =
r D
r dS
dt dt (S)
(S ) t
因此可得出
乙 (S)
8.1 麦克斯韦电磁理论
8.1.1 麦克斯韦电磁理论产生的历史背景