高中数学选修2-2和2-1综合试卷一、填空题1.函数y =x 2co sx 的导数为 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点(B)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 (C)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 (D)如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值3.某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )(A )当6=n 时，该命题不成立 (B )当6=n 时，该命题成立 (C )当4=n 时，该命题成立 (D )当4=n 时，该命题不成立4.若复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则a 的取值范围是5.设0<a <b ，且f (x )＝xx ++11，则下列大小关系式成立的是( ).(A )f (a )< f (2b a +)<f (ab ) (B )f (2b a +)<f (b )< f (ab )(C )f (ab )< f (2b a +)<f (a ) (D )f (b )< f (2b a +)<f (ab )6.已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ．7.曲线y =2x 3－3x 2共有____个极值.8.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________9.观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … ,则可归纳出________________________________10．命题03,2>+-∈∀x x R x 的否命题是 .11．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 条件。

（填“充分不必要”“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要” ） 12．若方程11422=-+-t ytx所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1<t<4; ②若C 为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C 不可能是圆； ④若C 表是椭圆，且长轴在x 轴上，则231<<t .其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）13、若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于 14、已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM =x OA +21OB +31OC ，则x 的值为 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分12分) 已知曲线 y = x 3+ x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.16. (本小题满分14分)如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式， 并予以证明.17. (本小题满分14分)已知、a b R ∈,a b e >>(其中e 是自然对数的底数),求证:a bb a >.(提示:可考虑用分析法找思路)18．（15分）求与椭圆221144169xy+=有共同焦点，且过点()0,2的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率。

19．（16分） 已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，⊥=∠PA DAB ,90 底面A B C D ，且12P A A D D C ===，1AB =，M 是P B 的中点（Ⅰ）证明：面P A D ⊥面PC D ；（Ⅱ）求A C 与P B 所成的角的余弦值；（Ⅲ）求面A M C 与面B M C 所成二面角的余弦值20．（本小题满分17分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在 AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB|=3米，|AD|=2米.（Ⅰ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AM 的长应在什么范围内？ （Ⅱ）当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.高中数学选修2-2和2-1综合试卷答案1、y ′=2x co sx －x 2s i nx 2、B 3、D 4、1a ≠-5、D 6.x =25, y =4； 7.两8.夹在两个平行平面间的平行线段相等；真命题. 9.22211121123(1)1n n n +++++<++ (n ∈N *)10 03,2≤+-∈∃x x R x 11充分不必要 12、（2）14、01378-14、6115.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-,∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=.16.(1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC-中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角. ∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，co s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCBBCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=.17.证明:∵0,0abb a >>∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b a ba >.(∵ab e >>) 取函数ln ()x f x x=,∵21ln ()x f x x-'=∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减.∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b a ba>.得证18()()()()222222222210514416910,254211421410xyy x a b o aba b yx+=-=>>--=椭圆的焦点是，-、0，5，焦点在y 轴上设双曲线的方程为又因为双曲线过点0，2，把这个点代入方程可得＝4＝＝所以双曲线的方程为双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为2.516.解：证明：以A 为坐标原点A D 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知A D D C ⊥，且A P 与A D 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得D C ⊥面PAD又D C 在面PC D 上，故面PAD ⊥面PC D（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC .510,cos ,2,5||,2||=>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在M C 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,00,.25A N M C A N M C x z λ⊥=-== 只需即解得0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角4||||.5552cos(,).3||||2arccos().3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-⋅-故所求的二面角为 19.解：设AM 的长为x 米(x>3)∵||||||||AM DC AN DN = ∴32||-=x x AN∴32||||2-=⋅=x xAM AN S AMPN（Ⅰ）由S AMPN >32得32322>-x x，∵12430)12)(4(04816,32><<∴>-->+-∴>x x x x x x x 或，即即AM 长的取值范围是（3，4）),12(+∞⋃（Ⅱ）令2222)3()6(3)3(3)3(633--=---='-=x x x x xx x y x xy ，则∴当),6(0,6+∞>'>，即函数在y x 上单调递增，x<6，0<'y ，函数在（3，6）上单调递减 ∴当x=6时，322-=x xy 取得最小值即S AMPN 取得最小值24（平方米）此时|AM|=6米，|AN|=4米答：当AM 、AN 的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是24平方米. 另解：以AM 、AN 分别为x 、y 轴建立直角坐标系，设1),2,3()3(),,0(),0,(=+>b y a x MN C a b N a M 的方程为直线，则由C 在直线MN 上得ab b a 312123-=⇔=+∴)31(162163232a bba ab S AMPN -=⋅=>⇔>=124048162><⇔>+-⇔a a x a 或∴AM 的长取值范围是（3，4）),12(+∞⋃。