选修2-2第一章单元测试（一）时间：120分钟总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则()A . a = 1, b = 1B . a =— 1, b = 1C . a = 1, b =— 1D . a =— 1, b =— 13.设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =() In2 A . e 2B . eC^^D . ln24. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( )B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂C . f (x)= 2 x + x cosxD . f ‘ sinx 厂(x)= 2 x — xcosx 1-3-36. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断:①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数；②x=—1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数；④x= 2是f(x)的极小值点.其中，所有正确判断的序号是()A .①②B .②③C.③④ D .①②③④7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是()A. O w a w 21B. a= 0 或a = 7C. a<0 或a>21D. a= 0 或a= 218某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)()A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元x9. 函数f(x) = —g(a<b<1)，则()A. f(a) = f(b) B . f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a), f(b)大小关系不能确定10. 函数f(x)=-x3+x2+ x —2的零点个数及分布情况为()1A .一个零点，在一X,—3内1B. 二个零点，分别在—x,—3 , (0,+x)内1 1c.三个零点，分别在一x,—3 , 一3，0, (1，+*)内1D. 三个零点，分别在—X,—3，(0,1), (1,+工)内11. 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x—1)f‘ (x) >0,则必有()A . f(0) + f(2)<2f(1) B. f(0) + f(2)< 2f(1)C. f(0) + f(2) >2f(1) D . f(0) + f(2)>2f(1)12. 设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f‘ (x)>f(x)，对任意的正数a,下面不等式恒成立的是()A. f(a)<e a f(0)B. f(a)>e a f(0)C. f(a)v号D.")>罟二、填空题侮小题5分，共20分)113. 过点(2,0)且与曲线y=-相切的直线的方程为/输入116. 已知函数f(x) = qmx2+ Inx—2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________ .三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. (10 分)设函数f(x) = —x3—2mx2—m2x + 1 —m(其中m> —2)的图象在x = 2处的切线与直线y= —5x+ 12平行.(1) 求m的值；(2) 求函数f(x)在区间［0,1］上的最小值.18. (12 分)已知函数f(x) = kx3—3(k + 1)x2—k2+ 1(k>0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4),1(1)求k的值；(2)当k<x时，求证：2 x>3—-x19. (12分)已知函数f(x)= kx3—3x2+ 1(k> 0).(1)求函数f(x)的单调区间；⑵若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.20. (12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调101 查，旅游增加值y万元与投入x(x> 10)万元之间满足：y= f(x) = ax2+而x—bl口希,a, b 为常数，当x= 10 时,y= 19.2;当x= 20 时,y= 357(参考数据：ln2 = 0.7, In3 = 1.1, ln5 = 1.6)(1)求f(x)的解析式；⑵求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游收入—投入)1 121. (12 分)已知函数f(x) = 3X3—2X2+ cx+ d 有极值.(1)求c的取值范围；1 一⑵若f(x)在x= 2处取得极值，且当x<0时，f(x)<6d2+ 2d恒成立, 求d的取值范围.22. (12分)(2015银川一中月考)设a为实数，函数f(x) = e x—2x+ 2a, x€ R.(1)求f(x)的单调区间与极值；⑵求证：当a>ln2 — 1 且x>0 时，e x>x2—2ax + 1.答案2 A •/y'= 2x+ a,•••曲线y = x2+ax+ b在(0, b)处的切线方程的斜率为a, 切线方程为y —b= ax,即ax—y+ b= 0；・a= 1, b= 1.3. B f ‘(x) = (xlnx) '= lnx + 1,「• f ‘ (x o ) = lnx o + 1 = 2,「. x o = e.4. B f (x) =2x + 2f ‘ (1),A f (1)= 2 + 2f ‘ (1)，即 f ‘ (1)=- 2,二 f(x) = 2x -4,A f (0)=- 4.5. D 由定积分的几何意义可知，函数y = f(x)的图象与x 轴围成 的阴影部分的面积为1 — 3f(x)dx — 3f(x)dx.故选D.i6. B 由函数y =f(x)的导函数的图象可知：(1) f(x)在区间［—2, — 1］上是减函数，在［—1,2］上是增函数，在［2,4］ 上是减函数；(2) f(x)在x =— 1处取得极小值，在x = 2处取得极大值.故②③正 确.7. A f (x) = 3x 2 + 2ax + 7a ,当 △= 4a 2 — 84a <0,即卩 0W a <21 时，f ‘ (x) >0恒成立，函数不存在极值点.故选 A.& D 设毛利润为L(P),由题意知 L(P)= PQ — 20Q = Q(P — 20) =(8 300— 170P — P 2)(P — 20) =—P 3 — 150P 2 + 11 700P — 166 000, 所以 L ‘ (P) = — 3P 2— 300P + 11 700, 令 L ' (P)= 0,解得 P = 30 或 P =— 130(舍 去). 此时，L(30)= 23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件 30元时，最大毛利润为23 000元.1. C F (x) = ( x) 选C.sinx + x (sinx)'=^x sinx +G cosx ,故e x—xe x x—19. C F(x)=—否 2 = e x，当x<1时，f‘ (x)<0，即f(x)在区间(一汽1)上单调递减，又•: a<b<1，二f(a)>f(b).110. A 利用导数法易得函数f(x)在一 = ,—3内单调递减，在1 1 59 —3, 1内单调递增，在(1, +x)内单调递减，而f — 3 = —27<o，f(1)=—1<0,故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在1— X,—3内，故选A.11. C 当1<x< 2 时，f‘(x)》0,贝y f(2)>f(1); 而当0W x< 1 时，f‘(x)<0,贝S f(1)<f(0),从而f(0) + f(2)> 2f(1).f x f' x 一f x12. B 构造函数g(x)=孑，贝S g' (x)= e x >0,故函数f x fa f 0g(x) = *在R 上单调递增，所以g(a)>g(0),即f er>f-^,即f(a)>e a f(0). DD D13. x+ y —2= 0解析：设所求切线与曲线的切点为P(x o, y o),1 1T y'= —p,二y' |x=x o= —鬲所求切线的方程为1y—y o= —x0(x一X o).T点(2,0)在切线上，=y「・x2y o= 2—X o.①由①②解得X o =1, y o•••所求直线方程为x+ y— 2 = 0.i4.n解析： 1 1 jn jn jnM = 1 1— x 2dx = 4 nX 12 = 4, N =/2o cosxdx = sinx 刖=1,冗 M<N ,不满足条件 M>N ,贝S S = M = 4.15.16. [1,+乂)1解析：根据题意，知f ‘ (x)= mx + --2>0对一切x>0恒成立，x 1 2121 1二 m >- - 2 + _,令 g(x) =-- 2 + _=_ -- 1 2+ 1,则当_ = 1 时，函 X xx xx x数g(x)取得最大值1,故m 》1.17. 解:(1)因为 f ‘ (x)=- 3x 2-4mx - m 2, 所以 f ‘ (2) = - 12-8m - m 2=- 5,解得m =- 1或m =- 7(舍去)，即m =- 1. (2)令 f ‘ (x)=- 3x 2+ 4x — 1= 0,1解得 X 1 = 1 , x 2 = §.当X 变化时，f ‘ (x), f(x)的变化情况如下表:解析: f ‘(x)= mX m 1 + a =2x +1,得m = 2, a = 1. 则 f(x) = x 2+ x ,丄—1 _ 11f n n n + 1 n n +1，11 1 1其和为彳―2 + 1—§ + —4 +…+1-七=1-丄=亠nn + 1 n + 1 n + 1F (x) 一+f(x)2\ 150 2721 50所以函数f(x)在区间［0,1］上的最小值为f3 = 50.18. 解：(1)f ‘ (x) = 3kX — 6(k + 1)x , 2k + 2由 f ‘ (x)<0 得 0<x<一 ,T f(x)的递减区间是(0,4),(2)当k = 0时，函数f(x)不存在极小值,2 8 12当k>0时，依题意f =迄—迄+1>0, 即k 2>4，所以k 的取值范围为(2,+乂 ).2k + 2 ‘=4,k = 1.1 11 (2)证明：设 g(x) =2 x + x ，g‘(x)= x —x 2. ••• g ‘ (x)>0,「. g(x)在 x € ［1,+乂)上单调递增. 1••• x>1 时，g(x)>g(1), 即卩 2 x +->3,二 2 x>3 — £zv19. 解：(1)当 k = 0 时，f(x) = — 3x 2 + 1,• f(x)的单调增区间为(一乂，0］,单调减区间［0,+乂 ).2当 k>0 时，f ‘(x)= 3kx 2 — 6x = 3kxx —k , ••• f(x)的单调增区间为,单调减区间为0当x>1时,o20. 解：(1)由条件得1解得a=—而，b=1,X 101 x 则f(x)= —100+ 50 x—ln^0(x> 10).(2)由题意知x251 xT (x) = f(x) —x=—而+50x—ln^0(x> 10),令「(x)= 0,贝S x= 1(舍去)或x= 50.当x€ (10,50)时，T‘ (x)>0, T(x)在(10,50)上是增函数；当x€ (50, +乂)时，T (x)<0, T(x)在(50, +乂)上是减函数,二x= 50为T(x)的极大值点，又T(50) = 244故该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.1 121. 解: (1) v f(x) = §x3—*2+cx+ d,二f‘ (x) = x2—x+c,要使f(x)有极值，则方程f‘ (x) = x2—x+ c= 0,1 有两个实数解，从而△= 1 —4c>0，二c<4.(2) v f(x)在x= 2处取得极值，••• f (2) = 4 —2+ c = 0,• c=-1 1-2. •- f(x) = 3X3—^x2—2x+ d.a x 102+101而x 10—blnl 19.2a x 202+101而x 20—bln2= 35.7—x 51 1+ ——-50 +50 xx—1 x—50V f (x) = x 2 — x — 2= (x — 2)(x + 1),•••当 x € ( — s,— 1)时，F (x)>0，函数单调递增，当 x € (— 1,2] 时，f ‘ (x)<0，函数单调递减.• x<0时，f(x)在x =— 1处取得最大值右+ d , 1 一V x<0 时，f(x)v§d 2 + 2d 恒成立,••• d<— 7 或 d>1,即d 的取值范围是(— s,— 7)U (1,+乂). 22. 解:(1)f ‘ (x) = e — 2, x € R. 令 f (x) = 0,得 x = ln2.于是，当x 变化时，f (x)和 f(x)的变化情况如下表:故f(x)的单调递减区间是(一s, |n2),单调递增区间是(In2，+s ), f(x)在x = In2处取得极小值，极小值为f(ln2) = 2— 2ln2 + 2a.(2)证明：设 g(x) = e 一x 2 + 2ax — 1, x € R , 于是 g ‘ (x) = 3— 2x + 2a , x € R.由(1)及 a>ln2 — 1 知，对任意 x € R ,都有 g ‘ (x)>g ‘ (In2) = 2— 2ln2 + 2a>0，所以g(x)在R 内单调递增.于是，当a>l n2 — 1时，对任意x € (0,+s ),都有g(x)>g(0),而 g(0)=0,从而对任意x € (0,+s )，都有g(x)>0, 即 e x — x 2 + 2ax —1>0, 故 e x >x 2 — 2ax + 1.Vd + 7- 6即(d + 7)(d — 1)>0,14. 已知M = * 1d1 —x2dx, N= n cosxdx,则程序框0 图输出的S= . 15. 设函数f(x) = x m+ ax 的导数为f‘ (x)= 2x+ 1,1则数列fn(n€ N+)的前n项和是 __________ .。