考研数学模拟测试题完整版及答案解析数一 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数一）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当0x →时，下面4个无穷小量中阶数最高的是 （ ）23545x x x ++ (C) 33ln(1)ln(1)x x +--(D) 1cos 0x-⎰【答案】（D ）【解析】（A ）项：当0x →22x =（B ）项：显然当0x →时，2352454x x x x ++（C ）项：当0x →时，333333333122ln(1)ln(1)lnln 12111xx x x x x x x x ⎛⎫++--==+ ⎪---⎝⎭（D ）项：1cos 31100001(1cos )2limlim lim k k k x x x x xx xx kxkx ---→→→→-⋅===⎰所以，13k -=，即4k =时1cos 0limkx x -→⎰存在，所以41cos 08x -⎰（2）下列命题中正确的是（ ）(A) 若函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 必有原函数 (B)若函数()f x 在(,)a b 上连续，则()ba f x dx ⎰必存在(C)若函数()f x 在[],a b 上可积，则()()xax f x dx Φ=⎰在[],a b 上必连续(D)若函数()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在该区间上必无原函数 【答案】 C【解析】选项（A ）错误，反例：1,01()2,12x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，在[]1,2可积，但它无原函数。

选项（B ）错误，反例：1()f x x=在(0,1)上连续，但101dx x ⎰不存在。

选项（D ）错误，反例：112cos sin ,0()00x x f x x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处不连续，但其原函数可取21cos ,0()00x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 。

所以，正确选项为（C ）。

（3）以下关于二元函数的连续性的说法正确的是 ( )(A) (),f x y 沿任意直线y kx =在某点0x 处连续,则(),f x y 在点()00,x y 连续 (B) (),f x y 在点()00,x y 处连续,则()0,f x y 在0y 点连续,()0,f x y 在0x 点连续(C) (),f x y 在点()00,x y 处偏导数()00,x f x y '及()00,y f x y '存在,则(),f x y 在点()00,x y 处连续 (D) 以上说法都不对 【答案】B【解析】由二元函数(),f x y 在点()00,x y 极限存在及在该点连续的定义知B 正确. （4）设区域{}22(,)4,0,0D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则DI σ=＝( )(A) ab π (B) 2ab π (C) ()a b π+ (D) 2a b π+ 【答案】D【解析】DI σ=,D 关于y x =对称⇒DI σ=两式相加得2()()DDI a b d a b σσπ==+=+⎰⎰2a bI π+⇒=（5）设m n A ⨯矩阵经过若干次初等行变换后得到B ，现有4个结论正确的是： （ ）①A 的行向量均可由B 的行向量线性表示 ②A 的列向量均可由B 的列向量线性表示 ③B 的行向量均可由A 的行向量线性表示 ④B 的列向量均可由A 的列向量线性表示(A) ①、② (B) ③、④ (C) ②、③ (D) ①、③ 【答案】(D)【解析】由题设A 经初等行变换得到B 知，有初等矩阵12,,,s P P P 使得21.sP P P A B =记21sP P P P =则ij m mP p ⨯⎡⎤=⎣⎦是可逆矩阵，将,A B 均按行向量分块有11121112121222111m m m m m m m p p p pp p PA B p p p αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦这表明1122(1,2,,)i i im m i p p p i m αααβ+++==，故B 的行向量均可由A 的行向量线性表出，因ij m mP p ⨯⎡⎤=⎣⎦是可逆矩阵，所以两边同乘1P -得11221m m P αβαβαβ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故故A 的行向量均可由B 的行向量线性表出。

所以答案选(D)（6）已知110110,001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦那么下列矩阵 110300121110,020,252001000121-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中，与A 合同的矩阵有 （ ）(A) 3个 (B) 2个 (C) 1个 (D) 0个 【答案】A【解析】A B ⇔A 与B 有相同的正、负惯性指数.由22222123121232()T x Ax x x x x x x x x =+++=++ 知2,0.p q ==而22222123121231101102(),001T x x x x x x x x x x -⎡⎤⎢⎥-=++-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2221231213231212525424121T x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()22222112323232323222254x x x x x x x x x x x x =++++-++++()2212322,x x x x =+++221230002032,000T x x x x ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦均为2,0.p q ==所以他们都与矩阵A 合同(7) 假设事件A 和B 满足1()0,()0P B P A >>>，且()1P B A =，则 （ ）（A ）()1P A B = （B ）()1P A B = （C ）()0P A B = （D ）()0P A B = 【答案】 （C ）【解析】由已知条件()1()()P B A P AB P A =⇒= 先看（A ）()()()()()P AB P A P A B P B P B ==，推不出等于1所以（A ）排除 （B ）()()()()()()1()()()P AB P B P AB P B P A P A B P B P B P B --===≠ 排除 （C ）()()()()()()01()1()()P BA P A P AB P A P A P A B P B P B P B --====--，故（C ）对（D ）()1()101P A B P A B =-=-=，所以（D ）不对。

故选（C ）（８）已知随机变量X Y 和均服从(0,1)N ，且不相关，则 （ ）(A) 22X Y +服从2(2)χ (B) (,)X Y -不一定服从正态分布(C) 22X Y服从(1,1)F (D) X Y -服从(0,2)N【答案】 （B ）【解析】因为X Y 和均服从(0,1)N ，且不相关，不知道其是否独立，所以(A)（C ）（D ）不对。

二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（9） 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭_______________ 【答案】4π【解析】 22222111lim lim 141nn n i nn n n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑=110201arctan |14dx x x π==+⎰（10）椭圆2244x y +=在点()0,2处的曲率半径ρ=_________________ 【答案】12【解析】由820x yy '+=知4x y y-'=，316y y -''=。

故0|0x y ='=，0|2x y =''=-，故在点()0,2处的曲率为322(0,2)21y K y ''=='⎡⎤+⎣⎦所以()0,2处的曲率半径为112K ρ== （11）函数222(,,)f xy z x y z =++在点11,,022M⎛⎫- ⎪⎝⎭处沿方向l i j =-的方向导数fl∂=∂ 【解析】由于li j =-，所以cos 0αβγ===为方向l 的方向余弦，因此，)cos cos cos M MMf f f fx y lx y z αβγ⎛⎫∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=-= ⎪∂∂∂∂⎝⎭（12）幂级数210(1)n n n a x ∞+=-∑在2x =处条件收敛，则其收敛域为_______________ 【答案】[0,2]【解析】由21(1)n n n a x ∞+=-∑在2x =处条件收敛，得0n n a ∞=∑条件收敛，即0n n a ∞=∑收敛但0n n a ∞=∑发散，即()0n n a ∞=-∑收敛但0n n a ∞=∑发散，所以210(1)n n n a x ∞+=-∑在0x =处条件收敛，所以210(1)n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[0,2]（13）设1234,,,a a a a 均为n 维列向量，若123,,a a a 线性无关，41232a a a a =-+，构成矩阵1234(,,,)A a a a a =，则齐次线性方程组0Ax =的通解为_________________________. 【答案】(2,1,11)T k --【解析】由题设知, 123,,,a a a 线性无关, 1234,,,a a a a 线性相关,所以向量组1234,,,a a a a 的秩为3.注意到方程0Ax =中未知量个数为4,故方程的基础解系由1个非零解向量组成.()123421011a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，故2111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是方程的一个非零解,所以也是0Ax =的一个基础解系,从而0Ax =的一个通解为(2,1,11)T k --,其中k 是任意常数.。

（14）设随机变量X Y 和相互独立，且~(0,1),~(0,2)X N Y N ，则22()D X Y +=______【答案】 10【解析】 因为X Y 和相互独立，所以22X Y 与相互独立，2222()D X Y DX DY +=+由于~(0,1)X N ，所以22~(1)X χ，故22DX =，~(0,2)Y N，则~(0,1)N22~(1)2Y χ，故22()282Y D DY =⇒=，所以2222()2810D X Y DX DY +=+=+=三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分10分）设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=，求.2222yg x g ∂∂+∂∂【解析】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则：221()()2x y g f xy f x u x v x⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂ f f y x u v ∂∂=+∂∂ （2分） 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ （4分） 从而22222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦22222222f f f f y xy x u u v v v ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ （6分） 22222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦22222222f f f f x xy y u u v v v ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂ （8分） 所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +（10分）（10分）（16）（本题满分10分）设()y y x =是区间(,)ππ-内过点(的光滑曲线,当0x π-<<时,曲线上任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.【解析】当0x π-<<时,设(,)x y 为曲线上任一点,由导数的几何意义,法线斜率为1k dy dx=-, 由题意,法线斜率为yx,所以有dy x dx y =-, （2分）分离变量为 ydy xdx =-,解得 22x y C +=, （3分）由初始条件(y =,得2C π=,所以0.y x π=-<< ①（4分）当0x π≤<时,0y y x ''++=的通解为12cos sin y C x C x x =+-, ②（6分）12'sin cos 1y C x C x =-+-, ③因为曲线()y y x =光滑,所以()y x 连续且可导,由①式知(0)lim ()lim ,(0)(0)lim 0,x x x y y x y y xππ---→→-→===''===（8分）代入②、③式,得12,1C C π==,故 （9分）cos sin ,0.y x x x x ππ=+-≤<因此, 0,cos sin ,0.x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩（10分）（17）（本题满分10分）证明：（I ）设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的()0x U x ∈，有()()0f x f x ≤，那么()00f x '=；（II ）设函数()f x 在[],a b 可导，()()0,0f a f b +-''><，则()f x '在(),a b 内有零点。