北师大版九年级数学勾股定理专项训练一、填空题（）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，当t=________s时，△ABP为直角三角形．【答案】2或258【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解，属于中档题．首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=4cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，∴t=4÷2=2s；②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=(2t−4)cm，AC=3cm，在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t−4)2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴52+[32+(2t−4)2]=(2t)2，s.解得t=258s时，△ABP为直角三角形．综上，当t=2s或258s.故答案为2s或2582.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为________．【答案】34【解析】【分析】本题考查概率的求法以及勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与情况总数之比，属于中档题．从点A、B、C、D中任取三点，找出所有的可能以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共△ABD，△ADC，△ABC，△BCD 四种情况，∵AB2=12+22=5，BD2=12+22=5，CD2=12+32=10，AD2=12+32=10，AC2=22+42=20，BC2=52=25，∵AB2+BD2=AD2，则△ABD为直角三角形，同理△ADC，△ABC是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为3．4．故答案为34二、解答题（）3.一块钢板形状如图所示，量得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，请你计算一下这块钢板的面积．【答案】解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=6+30=36．【解析】本题考查了勾股定理和它的逆定理，三角形的面积计算方法，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明△ACD是直角三角形是关键．由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．4.由于大风，山坡上的一颗树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【答案】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，由题意可得：BC=13m，DC=12m，故BD 2=BC2−CD2=132−122=25，∵BD>0，则BD=5m，即AD=9m，则AC2=AD2+CD2=92+122=225，∵AC>0，则AC=15m，故AC+AB=15+4=19m．答：这棵树原来的高度是19米．【解析】本题主要考查了勾股定理的应用，得出BD的长是解题关键，属于中档题．首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．5.如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m(不考虑支柱的直径).求秋千支柱AD的高．【答案】解：设AD=xm，则由题意可得AB=(x−0.5)m，AE=(x−1)m，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即(x−1)2+1.52=(x−0.5)2，解得x=3．即秋千支柱AD的高为3m．答：秋千支柱AD高为3米．【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出关于x的等式是解题关键．设未知数，直接利用AE2+BE2=AB2，进而得出答案．6.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC 于D ，设BD =x ，用含x 的代数式表示CD → 根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x → 利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积【答案】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BD =x ，则CD =14−x ，在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2−BD 2=152−x 2，在Rt △ACD 中，AD 2=AC 2−CD 2=132−(14−x)2，∴152−x 2=132−(14−x)2，解得x =9，此时AD 2=152−92=122，故AD =12，△ABC 的面积：12×BC ×AD =12×14×12=84．【解析】本题主要考查三角形面积的计算有关知识，先作出三角形的高，然后求出高，利用三角形的面积公式进行计算即可．7. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．(1)求证：△ADC ≌△CEB ；(2)从三角板的刻度可知AC =25 cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小(每块砖的厚度相等)．【答案】(1)证明：由题意得：AC =BC ，∠ACB =90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠ACD +∠DAC =90°，∴∠BCE =∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB ∠DAC =∠BCE AC =BC,∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a，由(1)得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴(4a)2+(3a)2=252，∵a>0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【解析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．(1)根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．(2)由题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得(4a)2+(3a)2=252，再解即可．8.如图，∠AOB=90°，线段OA=18m，OB=6m，一机器人Q在点B处．(1)若BC=AC，求线段BC的长．(2)在(1)的条件下，若机器人Q从点B出发，以3m/min的速度沿着△OBC的三条边逆时针走一圈回到点B，设行走的时间为t min，则t为何值时，△OBQ是以Q 点为直角顶点的直角三角形?【答案】解：(1)设AC为x，则BC=AC=x，OC=18−x．由勾股定理得OB2+OC2=BC2，又∵OB =6，∴62+(18−x )2=x 2，解得x =10，∴线段BC 的长为10m ；(2)如图，作OQ ⊥BC 于点Q ，∵在(1)的条件下，OB =6，BC =10，则OC 2=BC 2−OB 2=64，∵OC >0，则OC =8，∴OQ =OB·OC BC =245．∴在Rt △BQO 中，BQ 2=BO 2−OQ 2=32425， ∵BQ >0，则BQ =185， ∴t =(6+8+10−185)÷3=345， ∴当t 为345时，△OBQ 是以Q 点为直角顶点的直角三角形．【解析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．(1)设AC 为x ，则BC =AC =x ，OC =18−x.利用勾股定理得62+(18−x )2=x 2，解出x 即可；(2)由勾股定理知OC =8，作OQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △BQO 中，利用勾股定理可得BQ =185，再利用时间=路程÷速度即可得．9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．【答案】解：(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，故AC 2=AB2−BC2=16，∵AC>0，故AC=4cm，设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4−2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，即：(4−2t)2+32=(2t)2，解得：t=2516，∴当t=2516时，PA=PB；(2)当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，则∠AEP=90°，∵AP为∠CAB的角平分线，∴∠CAP=∠EAP，在△CAP和△EAP中，{∠ACP=∠AEP ∠CAP=∠EAP AP=AP∴△CAP≌△EAP(AAS)，此时PE=PC=2t−4，BP=7−2t，BE=AB−AE=AB−AC=5−4=1，在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，即：(2t−4)2+12=(7−2t)2，，解得：t=83∴当t=8时，P在△ABC的角平分线上．3【解析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于中档题．(1)设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，PC=4−2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；(2)当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP=7−2t，PE=PC=2t−4，BE=5−4=1，根据勾股定理列方程即可得到结论．10.如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．(1)分别求出AB，BC，AC的长；(2)试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．【答案】解：(1)AB=√12+22=√5，BC=√22+42=2√5，AC=√32+42=5；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25，AC2=52=25，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形．【解析】(1)根据勾股定理求出边的长度即可；(2)根据勾股定理的逆定理判断即可．本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．11.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．【答案】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC=√AB2+BC2=5，∵将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，∴AB′=AB=3，DB′=BD，∠AB′D=∠CB′D=90°，∴CB′=AC−AB′=5−3=2，设B′D=BD=x，则CD=4−x，∵DB′2+CB′2=CD2，∴x2+22=(4−x)2，解得x=3，2∴DB′=3．2【解析】本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=5，由折叠的性质得到AB′=AB=3，DB′=BD，∠AB′D=∠CB′D=90°，设B′D=BD=x，则CD=4−x，根据勾股定理即可得到结论．12.老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．【答案】解：连接AC，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，∵CD=12米，DA=13米，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∴这块草坪的面积=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(米 2).【解析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断△ACD是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．13.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA= 30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？【答案】解：设AE=xkm，则BE=(50−x)km∵DE=CE∴302+x2=(50−x)2+202解得x=20答：基地E应建在离A站20km的地方．【解析】根据勾股定理得出方程解答即可．此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出方程解答．14.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=17，AD=12．(1)求证：AD=DC；(2)求四边形ABCD的周长．【答案】证明：(1)在BC 上取一点E ，使BE =AB ，连结DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．在△ABD 和△EBD 中，{AB =BE ∠ABD =∠EBD BD =BD∴△ABD≌△EBD(SAS)；∴DE =AD =12，∠BED =∠A ，AB =BE =17，∵∠A =120°，∴∠DEC =60°．∵∠C =60°，∴∠DEC =∠C ．∴DE =DC ，∴AD =DC ．(2)∵∠C =60°，DE =DC ，∴△DEC 为等边三角形∴EC =CD =AD ．∵AD =12，∴EC =CD =12，∴四边形ABCD 的周长=17+17+12+12+12=70．【解析】(1)在BC 上取一点E ，使BE =AB ，连结DE ，证得△ABD≌△EBD ，进一步得出∠BED =∠A ，利用等腰三角形的判定与性质与等量代换解决问题；(2)首先判定△DEC 为等边三角形，求得BC ，进一步结合(1)的结论解决问题．此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，结合图形，灵活解答．。