∆F T = lim ∆A
T 为位于物体内部Q点，切平面法线方向为v的应力矢
量。 应力矢量不仅和点的位置有关，和截面的方向也 有关。
应力矢量的分量
通常将应力沿垂直于截面和平行于截 面两个方向分解为正应力分量和力分量
应力分量 描述应力分量，通常用一点 平行于坐标平面的单元体， 各面上的应力矢量沿坐标轴 的分量来表述。
变形物体的平衡方程 图示单元体z轴方 向的平衡，在z面的负 面z处，正应力记为σz, z正面z+dz处应力为 ∂σ z τxz σz + dz
∂z
∂τ xz τ xz + dx ∂x
在x面的负面处，切应力 记为τxz； x正面x+dx处切应力为 ∂τ xz τ xz + dx ∂x
z o y
变形物体的平衡方程 在y面的负面y处，切应 力记为τyz, τyz
笛卡尔坐标面上的应力分量
应力分量 相对平面上的应力 分量在略去高阶小量的 意义上大小相等，方向 相反。
y
z o x
笛卡尔坐标面上的应力分量 在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标平面的3 个坐标方向进行应力分解后，可得到9个应力分量， 他们整体构成了一个应力矩阵：
σ x σ xy σ xz σ ij = σ yx σ y σ yz σ zx σ zy σ z
σ x τ xy τ xz σ ij = τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z
σ i' j'
σ ' τ ' ' τ ' ' x y xz x = τ y ' x ' σ y ' τ y ' z ' τ ' ' τ ' ' σ ' z y z zx

柯西应力公式，它给出了物体内一点的九个应力 分量与通过同一点的任意一个微切分面上应力矢量 之间的关系。
柯西应力公式 Ti = σji vj
柯西应力公式可用于： 力边界条件 求斜面正应力和剪应力
边界条件
按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为位移边界 问题、应力边界问题和混合边界问题。 位移边界问题：物体在全部边界上的位移分量是 已知的。 应力边界问题：物体在全部边界上的应力分量是 已知的。 混合边界条件：物体一部分边界具有已知位移， 因而具有位移边界条件，另一部分边界具有已知面 力，因而具有应力边界条件。
坐标系变换时应力分量的变换
用指标符号记为
σ i ' j ' = li 'iσ ij l j ' j
应力分量为二阶张量， 应力分量的坐标变换公式 为
σ ' = lσl
T
主应力和应力主轴（主方向）



当坐标转动时，受力物体内任一确定点的九个应 力量将随着改变。在坐标系不断转动过程中，必 然能找到一个坐标系，使得该点在该坐标系中只 有正应力分量，而剪应力分量为零。 把这样的微分面称为主微分面，简称主平面，其 法向方向称为应力主方向，而其上的应力称为主 应力。 应力主轴是对于物体中的点而言的：对于物体中 不同的点，应力张量不同，那么主方向也不同。
矢量与张量 把 x, y , z 轴，记为x1, x2, x3，通常可简记为 xi，各 轴的基矢记为 e1,e2,e3 ，可简记为 ei ，在此坐标系中 的矢量v的分量记为v1, v2, v3，可简记为vi。 矢量的点积: 一个矢量和另一个矢量的点积可以决 定一个标量，用指标符号可记为
W = f·s= f 1s1+f 2s2+f 3s3 = ∑ f is i
当i, j, k为{1,2,3},{2,3,1} 或{3,1,2} 当i, j, k为{2,1,3},{1,3,2} 或{3,2,1} 当i，j，k有两个或三个相同
称为置换符号。利用置换符号，两个 矢量的矢积可记为 a i ×b j = e ijk ai bjek
矢量与张量 将求导符号简记为：
∂( ) = ( ) ,i ∂xi
τ yz +
∂τ yz dy ∂y
y正面y+dy处应力为
∂τ yz dy τ yz + ∂y
设Fbz 为物体的Z方向的体力分量。
z o x y
总和后整理便得到z方向的静力平衡方程 ∑Z=0:
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变形物体的平衡方程
变形物体的平衡方程
利用前后、上下、左右面中心线轴的转距 平衡,可以得到：
= τ yz τ= τ= τ yx , zy ,τ zx xz ,τ xy
矢量与张量 应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性， 即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力 分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为 (σ ij ) 。
(σ ij )
=
σ xx σ xy σ xz σ σ σ yy yz yx σ zx σ zy σ zz σ xx τ xy τ xz τ σ τ yy yz yx τ zx τ zy σ zz σ x τ xy τ xz τ σ τ yx y yz τ zx τ zy σ z
梯度可记为：
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∇ϕ = e1 + e2 + e3 = ϕ ,i ei ∂x1 ∂x2 ∂x3
则散度可记为：
∂v1 ∂v2 ∂v3 ∇•v = + + = vi ,i ∂x1 ∂x2 ∂x3
矢量与张量
在力学中常用的物理量（或几何量）可分为几 类：标量（只有大小没有方向）；矢量（既有大小 又有方向）；张量（具有多重方向性的更为复杂的 物理量） 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量坐标轴的 选取有关，这种与坐标变换有关，满足规定坐标变换 公式的物理量称为张量。 标量称为零张量，矢量为一阶张量，应力是二阶 张量。
应力分量的正负号规定 当所选坐标面的法线方向与坐标轴的指向相同时，则 规定各个应力分量的正向与坐标轴的指向相同。
凡正面上的应力 沿坐标正向为正， 逆坐标正向为负。 z x o y
应力分量的正负号规定 反之，当所选坐标面的法线方向指向坐标轴的负方向， 则规定各个应力分量的正向也指向坐标轴的负方向。 若图示单元体面的法线为y的负向，正应力分量记为 σyy ,沿y轴负向为正。 平行于单元体面的应力分 量如图示的σyx、σyz，沿x轴、 z轴的负向为正。 z x o y
力边界条件 在外力作用下，我们 从物体从中取出的单 元体位于边界处，则 单元体内部应力形成 的内力和边界上的外 力平衡。 1) 如果边界面正好和坐标平面平行，则立即可得到 应力应满足的条件。 2) 如果边界面和坐标平面斜交，则应根据形成的四 面体的平衡条件得到应力应满足的条件。
Pi = σji vj
柯西应力公式
一点的应力状态
通过物体内一点可以作无数个方向不同的切 平面，各切平面上的应力矢量一般各不同，我们 把物体内一点各切平面上的应力情况，称为一点 的应力状态。 幸运的是，只需知道三个互相垂直的面上的应力矢 量，就可以确定任意一个方向的应力矢量。
柯西应力公式 Ti = σji vj
柯西应力公式
z o x y
笛卡尔坐标面上的应力分量 图示单元体面的法线方向为y坐标轴， 称为y面，应力矢量在垂直于单元体 面方向上的应力分量称为正应力分量。 z x o y σyz σyx σyy 正应力分量记为σyy,沿y轴的正向为 正,其下标表示所分量沿坐标轴的方 向。 应力矢量在平行于单元体面方向上的 应力分量称为剪应力分量，用σyx 、 σyz表示，其第一下标y表示所在的平 面，第二下标x、y分别表示分量所沿 坐标轴的方向。
柯西应力公式
柯西应力公式，它给出了物体内一点的九个应力分 量与通过同一点的任意一个微切分面上应力矢量之 间的关系。这样要了解各点的应力状态问题，化为 求出各点的九个应力量的问题。 由柯西应力公式，能否能够找到一个切平面的方向 v，使得它上面的应力矢量T 的方向与方向v 重合？
坐标系变换时应力分量的变换 当坐标系改变时，通过一点的各应力分量应如何 改变。 可以证明，当坐标平移式，应力张量中的各应力 分量不会改变，我们只研究当坐标旋转时，应力张量 的变换。 设在笛卡尔坐标系 oxyz 和 ox ' y ' z ' 下，某点的9个 应力分量为：
矢量与张量 引入符号之一： 记基矢的点积 e i ·e j = δij 其中
该定义表明它有 对称性，与指标 排列顺序无关， 即：δij＝ δji
称为克罗内克尔 代尔塔符号 (Kronecker delta)。
矢量与张量 引入符号之二： 记基矢的混合积 (e i ×e j ）·e k = e ijk 其中
根据剪应力互等定理，应力分量为对称张量。
总结
求解的应力应满足平衡微分方程和应力边界条 件，在空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三 个平衡方程；在平面应力状态有三个未知的应力函数， 只有两个平衡方程，问题是静不定的，需要从变形和 物理关系方面补充方程才能求解。 边界条件主要是用来确定解出的应力中的未定常数。
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 矢量与张量
应力分析
应力矢量，应力分量 柯西应力公式 坐标变换 主应力和应力主轴 最大剪应力 变形物体的平衡方程
矢量与张量
量与数：任何一个量都是客观对象的数学表征，通 常是由若干个数字给出的，最简单的量称为标量， 由一个数字确定。矢量有大小、方向，就不能只用 一个数值表示，需要分量组成。
切平面与内力
物体承受外力作用，物体内部各截面之间 产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用 一截面截开物体，并取出其中一部分：
v
应力矢量
其中一部分对另一部分的作用，表现为内 力，它们是分布在截面上分布力的合力。 ΔF 取截面的一部分，它的面 v 积为ΔA， Q 作用于其上的内力为ΔF， ΔA 平均集度为ΔF/ΔA，其 极限