(11 分)
3
x 2 0.566 31
0.566 31 e 0.566 31
1 e 0.566 31 x2 x1 0.000 83 0.001
0.56714
于是取 x=0.56714 为方程的近似根. (15 分) 14. 预报－校正公式为 2 y k 1 y k hf ( x x , y k ) y k h(1 x k y k ) (5 分) 2 h h 2 y k 1 y k [ f ( x k , y k ) f ( x k 1 , y k 1 )] y k (2 x k y k x k 1 y k 1 ) 2 2 h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有 y 1 1 0.1(1 0 12 ) 1.2 (10 分) 0.1 (2 0 12 0.1 1.2 2 ) 1.227 y1 1 2 h=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有 y 2 1.227 0.1(1 0.1 1.2272 ) 1.488 (14 分) 0.1 (2 0.1 1.2272 0.2 1.4882 ) 1.528 y 2 1.227 2 所求为 y(0.1)y1=1.227 y(0.2)y2=1.528 (15 分) 四、证明题(本题 10 分) 15. 作均差表

1.2
0
l n1 ( x 2 )dx
计算过程保留 4 位小数. － 13. 用牛顿法解方程 x－e x=0 在 x=0.5 附近的近似根. 要求 x n1 x n <0.001. 计算过程 保留 5 位小数. 14.取 h=0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题 y 1 x y 2 y (0) 1 在 x=0.1, 0.2 处的近似值. 计算过程保留 3 位小数. 四、证明题(本题 10 分） 15. 已知函数表 5 26 65 求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为 1 (D) 2 0 1 1 2 0 14 15 91 18 3. 已知 y=f(x)的均差 f(x0,x1,x2)= ，f(x1,x2,x3)= ，f(x2,x3,x4)= ，f(x0,x2,x3)= , 3 3 3 15 那么均差 f(x4,x2,x3)=( ) 15 18 91 14 (A) (B) (C) (D) 3 3 15 3 7 16 ( 4) 2 ( 4) 4. 已知 n=4 时牛顿－科茨求积公式的科茨系数 C 0 , C1( 4) , C 2 , 那么 90 45 15 ( 4) ＝( ) C3 7 16 2 7 16 2 39 ( A) (B) (C) (D) 1 90 45 15 90 45 15 90 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) ex－x－1＝0，[1,1.5]，令 xk+1= e xk 1 1 (B) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令 x k 1 1 2 xk
(7 分) 1.396 1 0.987 0 0.892 0 代入抛物线求积公式 1.2 h ln(1 x 2 )dx [ f 0 f 8 4( f1 f 3 f 5 f 7 ) 2( f 2 f 4 f 6 )] 0 3 0.15 ＝ (15 分) [0.8920 4 1.3961 2 0.987] 0.4225 3 － 13. 令 f(x)= x－e x，取 x0=0.5，则 f (0.5) f (0.5) (0.5 e 0.5 )(e 0.5 ) =0.064 61>0，
2 (C) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令 x k 1 3 1 x k
0.2 0.1 0 (C) 0.2 0 0.1 0 . 2 0 . 4 0
(D) 4－2x=x，[1,2], 令 xk 1 log 2 (4 x) 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 6.sin1 有 2 位有效数字的近似值 0.84 的相对误差限是 . 7.设矩阵 A 是对称正定矩阵， 则用 迭代法解线性方程组 AX=b， 其迭 代解数列一定收敛. 8. 已知 f(1)=1,f(2)=3,那么 y=f(x)以 x=1，2 为节点的拉格朗日线性插值多项式为 . 9. 用 二 次 多 项 式 ( x) a0 a1 x a 2 x 2 , 其 中 a0, a1, a2 是 待 定 参 数 ， 拟 合 点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn). 那么参数 a0, a1, a2 是使误差平方和 取最小值的解. 10. 设求积公式
2 = ln(1 x k )
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8
xk
0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.05 1.20
奇数号 0.022 3
偶数号
端点 0
0.086 2 0.184 4 0.307 5 0.446 3 0.593 3 0.743 1 0.892 0

于是取初始值 x0=0.5. 牛顿迭代公式为
(3 分)
x n 1
x0=0.5,
f ( xn ) x n e xn (n=0,1,2,…) xn xn f ( x n ) 1 e xn
(7 分)
x1 0.5
0.5 e 0.5 0.56631 1 e 0.5 x1 x0 0.066 31
12 r1 18 1 r3 r1 18 r2
x 2 [5.166 7 0.944 4 3.000 0] / 1.166 7 2.000 0 x1 [15 3.000 0 3 2.000 0] /( 18) 1.000 0
方程组的解为 X(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 1.2 0 12. 解 n=8, h= 0.15 ,f(x)=ln(1+x2) 8 计算列表 f ( xk ) (15 分).
(5 分)
18 3 1 15 12 3 3 15 (换行，消元) 1 1 6 1
( r1 , r2 )
2
3 1 15 18 0 1 2.333 3 5 (选 a32 1.1667为主元，并换行消元) 0 1.166 7 0.944 4 5.166 7 ( r2 , r3 ) 3 1 15 18 1 r3 r2 1.1667 (10 分) 0 1.1667 0.944 4 5.1667 0 3.142 8 9.428 5 0 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解 9.428 5 x3 3.000 0 3.142 8
xk
0 1 2 3 4
f ( xk )
-7 -4 5 26 65
一阶均差 3 9 21 39
二阶均差
三阶均差
3 6 9 1 1
(6 分) 5 128 63 12 1 因为三阶均差均为常数 1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为 3 次，(7 分) 且其系数为 1. (10 分)
4

b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( x k ) ，若对
的多项式积分公式
1
精确成立，而至少有一个 m+1 次多项式不成立。则称该求积公式具有 m 次代数精度. 三、计算题(每小题 15 分，共 60 分) 11.用列主元消去法解线性方程组 12x1 3x 2 3x3 15 18x1 3x 2 x3 15 x x x 6 2 3 1 计算过程保留 4 位小数. 12. 取 m=4,即 n=8，用复化抛物线求积公式计算积分

k 1
n
( y k ( x k )) 2 或
(y
k 1
n
k
2 2 a0 a1 x k a 2 x k )
10. 不超过 m 次 三、计算题(每小题 15 分，共 60 分) 12 3 3 15 11. [A b]= 18 3 1 15 (选 a 21 18 为主元) 1 1 6 1
数值分析考试试题及答案
一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分) 1.数值 x*的近似值 x=0.1215×10 2，若满足 x x (
－
)，则称 x 有 4 位有效数字.
1 1 1 － － － ×10 4 (C) ×10 5 (D) ×10 6 2 2 2 10 2 1 2. 设矩阵 A＝ 2 10 1 ，那么以 A 为系数矩阵的线性方程组 AX＝b 的雅可比迭 1 2 5 代矩阵为( ) 0 0.2 0.1 1 0.2 0.1 (A) 0.2 0 0.1 (B) 0.2 1 0.1 0.2 0.4 0 0.2 0.4 1
x f ( x)
0 －7
1 －4
2
3
4
5 128
数值分析考试试题答案
一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分) 1. D 2.A 3.C 4. B 5.A 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 1 1 6. 1021 101 0.00625 28 16 7. 高斯－赛德尔 8 2x－1. 9.