本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。

【巩固】111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【巩固】2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯L【例 2】1111 11212312100 ++++++++++L LL公式的变式1 1221+++=⨯-…n n n()当n分别取1，2，3，……，100时，就有1 12 12 1122 231 1232 341 12342 451 121002 100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯…例题精讲111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101 求和公式推导：S1=1+2+3+4+5+ S1=5+4+3+2+1【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯L【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭L【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3×13×(12−15)+⋯【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= 方法一：=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128 =12×(12−14+⋯+114−116+116−118)×128方法二： =[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128 =16×(22+26+212+220+230+242+256+272) =16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9) =16×2×(1−12+12−13+⋯+18−19)【巩固】 11111111612203042567290+++++++=_______【巩固】 11111113610152128++++++= 一项隔一项来拆项=1+1×(1−1)+1+1×(1−1)+1+1×(1−1)+1【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ =12−(12−13)−⋯(19−110)【巩固】 11111104088154238++++= 。

=1×(1−1+1−1+⋯1−1)【例 5】74.50.1611111813153563 13 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++=⎪⎝⎭-⨯&【例 6】计算：11111123420261220420+++++L=(1+2+⋯+20)+(1−12+12−13+⋯+120−121)【巩固】计算：11111 200820092010201120121854108180270++++= 。

【巩固】计算：1122426153577++++=____。

【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900+++++++=L．=1−1+1−1+⋯+1−1=99−(12+16+⋯+19900)【例 7】111 123234789 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】计算：111 1232349899100 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L【巩固】计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L=14×(11×3−13×5+12×4−14×6+⋯+120×22−122×24)【巩固】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L=1−11×2×3+1−22×3×4+1−33×4×5+⋯1−9999×100×101【例 8】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=13×(11×2×3−12×3×4+⋯+17×8×9−18×9×10)【例 9】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L．=2+31×2×3+3+42×3×4+⋯+9+108×9×10【例 10】123456 121231234123451234561234567 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1−1+3−1+4−1+⋯+7−11×2×3×4×5×6×7【巩固】计算：23993!4!100!+++=L .【例 11】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++LL L=2×12×(1−11+2)+3×13(11+2−11+2+3)+⋯+50×150×(11+2+⋯+49−11+2+⋯+50【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310) ----⨯++⨯++++++⨯++++LL L （）【例 12】56677889910 56677889910 +++++ -+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】36579111357612203042++++++=3+6+5+3+4+4+5+5+6+6+7【巩固】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++==13+34+25+57+78+4+54×5+3+73×7+3+83×8+5+7+75×7【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【巩固】111112010263827 2330314151119120123124+++++++++10119=17−717×726120=30−430×438123=41−341×327124=31−431×4【巩固】计算：5791113151719 1612203042567290 -+-+-+-+【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算。