1.2 极坐标系(谷杨华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为.有序数对叫做点为，可取任意实数．（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标与表示同一个点．特别地，极点的坐标为．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是惟一确定的．（3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设是平面内任意一点,它的直角坐标是，极坐标是，则：，，2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与表示的不是同一个点的是( )A．B．C．D．【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标与表示同一个点，检验得，选项C不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得【答案】C（2）已知点的直角坐标为，则点的极坐标为（）A．B．C．D．【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：，显然【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得【答案】A（3）已知点M的极坐标为，则点M的直角坐标为（）A．B．C．D．【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得【答案】B（4）已知A、B 两点极坐标为，则线段AB中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】将A,B两点化为直角坐标得，所以中点的直角坐标为，化为极坐标得【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标【答案】(二)课堂设计1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是一一对应的.2．问题探究探究一结合实例，认识极坐标系★●活动①提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：(1)他向东偏北方向走后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？（学生回答）(1)他向东偏北方向走后到达是点图书馆的位置，该图1位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走，去办公楼向北偏西走.上面刻画位置是以作为基点，并以射线为参照方向，然后利用与距离和与所成角度来描述位置，例如“东偏北，距离”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北方向，距离处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动②互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，以点为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系.类比上述过程，我们在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？如右图2，设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为.有序数对叫做点的极坐标，记为．图2 一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其自然得到点在极坐标系中的定义.B ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.，,,,【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，表示的是点到极点的距离，表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图． 同类训练在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：，【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，表示的是点到极点的距离，表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系 在图1中，用点分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标. 我们以点为极点，所在的射线为极轴（单位长度为GFDC EOx图3Ox），建立极坐标系，则的极坐标分别为建立极坐标系后，给定和，就可以在平面内惟一确定点，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫．●活动②合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标和表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点的极坐标为如果我们规定，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是惟一确定的．同类训练在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标()A（4，0）B（）C（）D（）F（）G（）【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点的极坐标，可以得到其它点的极坐标，,,,．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了．(2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】，,,,．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识．探究三实现极坐标与直角坐标的互化★▲●活动①归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：这就是极坐标和直角坐标的互化公式.图5【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系．活动②巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）（2）【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】（1）由所以点的极坐标化为直角坐标为．（2）由所以点的极坐标化为直角坐标为．【思路点拨】将点的极坐标化为点的直角坐标时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．【答案】（1）（2）．同类训练分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）（2）【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】【解题过程】（1）所以点的极坐标化为直角坐标为．（2）由所以点的极坐标化为直角坐标为．【思路点拨】将点的极坐标化为点的直角坐标时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．【答案】（1）（2）．例3 已知点B、C的直角坐标为,,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,且点位于第四象限∴θ=,点B的极坐标为(2,).又∵x=0,y<0,ρ=15,∴点C的极坐标为(15,).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取，即θ取最小正角,由tanθ=求θ时，还需结合在直角坐标系下点所在的象限来确定θ的值.【答案】B(2,) C(15,)．同类训练分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1）；（2）；（3）．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【数学思想】【解题过程】（1）又因为点在第一象限，所以.所以点的极坐标为．（2）又因为点在第三象限，所以.所以点的极坐标为．（3），极角为，所以点的极坐标为．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取，即θ取最小正角,由tanθ=求θ时，还需结合在直角坐标系下点所在的象限来确定θ的值.【答案】（1）（2）（3）．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式．3.课堂总结知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为.有序数对叫做点的极坐标，记为．一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数．（3）如果规定，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：直角坐标极坐标（三）课后作业基础型自主突破1．极坐标系中，点到极点的距离是( )A．0 B．1 C．2 D．【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义已知，故P到极点的距离为2π．【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断．【答案】D．2．下列各点中与极坐标表示同一个点的是( )．A．(5，) B．(5，) C．(5，) D．(5，)【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】【解题过程】根据极坐标和表示同一个点，取，得选项B．【思路点拨】极坐标和表示同一个点．【答案】B．3．在直角坐标系中点，则它的极坐标是A．B．C．D．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】因为，且点在第四象限，所以选C【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C．4．已知为极点，，，则( )A.2B.3C.4D.5【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积．【数学思想】数形结合思想【解题过程】因为，，所以，则三角形为直角三角形，则面积为，所以选D.【思路点拨】根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可．【答案】D．5．规定，则极轴上极点以外的点的极坐标为________．【知识点】点与极坐标系的关系．【数学思想】【解题过程】因为在极轴上且不是极点，所以极角极径，所以极坐标为．【思路点拨】根据极坐标的定义来处理．【答案】．6．极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．【知识点】点的极坐标．【解题过程】因为关于极轴所在直线对称的点为．【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解．【答案】．能力型师生共研7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是（）A．B．C．D．【知识点】极坐标的定义、点的极坐标．【数学思想】数学结合【解题过程】由题意知，又由，所以，所以选C【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转化．【答案】C8．已知点的极坐标分别为A(3，)，B(2，)，C(，π)，D(－4，)，求它们的直角坐标．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A，B(－1，)，C(，0)，D(0，－4)【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A，B (－1，)，C(，0)，D(0，－4)探究型多维突破9．已知点的直角坐标分别为A(3，)，B(0，)，C(－2，)，求它们的极坐标(ρ≥0, 0≤θ＜2π)．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A()，B，C(4，)．【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A()，B，C(4，)．10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中，m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标（限定且极点为（0，0））.【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的位置．【解题过程】以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为，，故 .又，，，， .故，，，，【思路点拨】解决问题的关键是根据极坐标系计算即可．【答案】，，，，自助餐1．在极坐标系中，已知，则的夹角为( )．A.B ．0 C.D.【知识点】极坐标的定义． 【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】如图所示，夹角为.【思路点拨】将两点的极坐标标在极坐标系中可得．【答案】C2．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，54πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，34π【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】复数对应的点的直角坐标为，由，且点在第二象限，所以选A ．【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标． 【答案】A ．3．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P的极坐标化成直角坐标 .【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由点P的极坐标为,设点P的直角坐标为(x,y),所以．【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】．4．以极点为原点，极轴的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M表示的点在第________象限．【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】根据，，所以点在第四象限．【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】四5．在极坐标系中,分别求下列条件下点关于极轴的对称点的极坐标:(1).(2)【知识点】极坐标系中点的刻画．【解题过程】1)当时,点关于极轴的对称点的极坐标为. (2)时,点关于极轴的对称点的极坐标为．【思路点拨】根据点在极坐标的刻画来求解．【答案】（1）；（2）．6．在极坐标系中，已知三点.(1)将M，N，P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M，N，P三点是否在一条直线上．【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题过程】(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】（1）M(1，－3)， N(2,0)， P(3，3)；（2）在同一条直线上．。