题型七第21题一次函数的实际应用类型一文字型(2019、2015、2014、2012.21)【类型解读】文字型函数实际应用题近10年考查4次，分值7～8分．出题形式：气温随高度变化问题(1次)、阶梯收费问题(2次)、空气含氧量问题(1次)，设问均为两问．考查点：求一次函数表达式(必考)、解一元一次方程(4次)．针对训练1.某中学图书馆为了丰富馆藏图书，更好服务师生，计划用不超过5000元的资金购买A、B两种图书80本，且购买A种图书不超过45本．已知A种图书售价为50元/本，B种图书售价为70元/本，设购进A 种图书x本，购书总费用为y元．(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；(2)已知购买A、B两种图书刚好花了4920元，问购买B种图书多少本？2. (2019西工大附中模拟)碑林书法社小组用的书法练习纸(毛边纸)可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买．已知两商店的标价都是每刀20元(每刀100张)，但甲商店的优惠条件是：若购买不超过10刀，则按标价卖，购买10刀以上，从第11刀开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：购买一只9元的毛笔，从第一刀开始按标价的八五折卖．设购买刀数为x刀，在甲商店购买所需要费用为y1元，在乙商店购买所需要费用为y2元．(1)写出y1、y2与x(x＞0)之间的函数关系式；(2)求在乙商店购买所需总费用小于甲商店购买所需总费用时x的取值范围．3.某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定重量的行李，当行李的重量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李重量x(kg)的一次函数．当行李重量为20 kg时需付行李费2元，行李重量为50 kg时需付行李费8元．(1)当行李的重量x超过规定时，求y与x之间的函数关系式；(2)求旅客最多可免费携带行李的重量．4.(2019陕西定心卷)陕西省某甜瓜基地因“规模大、品质好、品牌亮”吸引了周边大批水果批发商订购，该基地对需要送货上门且购买量在1000 kg～3000 kg(含1000 kg和3000 kg)的客户制定了两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)，已知该基地甜瓜批发价随市场变化波动，设某天批发价为每千克m元．方案一：每千克(m＋0.5)元，免运费；方案二：每千克m元，客户需支付运费1200元．(1)请分别写出这一天按方案一、方案二购买这种甜瓜的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；(2)当购买量x在什么范围时，选择方案二比方案一付款少；(3)已知5月某天批发价为每千克8元，某水果批发商计划用25000元在这一天购买尽可能多的这种甜瓜并需要送货上门，那么他在这两种方案中，应选择哪一种方案？类型二 图象型(2016、2013.21)【类型解读】图象型函数实际应用题近10年考查2次，分值为7分．出题形式：均为行程问题，设问为2～3问，其中单程问题(1次)，往返程问题(1次)．考查点：待定系数法求一次函数表达式(必考)、解一元一次方程(必考)．1. (2019绍兴)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y (千瓦时)关于已行驶路程x (千米)的函数图象．(1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x ≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；(2)当150≤x ≤200时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．第1题图2. “五一小长假”期间，小明一家乘车去离家80千米的牛背梁旅游，出发前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达旅游景区，他们在景区游玩了4小时后乘车回家．他们离家的距离y (千米)与时间x (小时)之间的函数图象如图所示．(1)求AB 段对应的函数关系式；(2)小明一家出发多长时间离家的距离为40千米？第2题图3. 暑假期间，小刚一家乘车去离家380 km 的某景区旅游，他们离家的距离y (km)与汽车行驶时间x(h)针对训练之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数关系式；(3)小刚一家出发2.5 h时离目的地多远？第3题图4.(2019济宁)小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系．请你根据图象进行探究：(1)小王和小李的速度分别是多少？(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．第4题图类型三表格型(2018、2017、2011、2010.21)【类型解读】表格型函数实际应用题近10年考查4次，分值为7～8分．出题形式：利润问题(3次)、方案设计(1次)，设问均为两问．考查点：求一次函数表达式(必考)、解一元一次不等式(必考)．1. (2019西安交大附中模拟)快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y 万元，购买A ，B 两种机器人共8台，其中购进A 型机器人x 台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息：型号分拣速度 单价 A1200件/小时6万元/台 B 1000件/小时4万元/台(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若要使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？2. (2019西安高新一中模拟)“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A 、B 两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A 、B 两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A 、B 两个果园的路程如表所示：设甲仓库运往A 果园x 吨有机化肥，汽车每吨每千米的运费为1元． (1)设总运费为y 元，求y 关于x 的函数表达式；(2)当甲仓库运往A 果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少？3. 某木器厂生产一款夏凉椅，已知这款夏凉椅的生产成本为每件180元．经市场调研发现：该款夏凉椅每天的销售量y (件)与售价x (元)之间存在着如下表所示的一次函数关系：路程(千米)甲仓库 乙仓库 A 15 25 B2020路程果园针对训练售价（元）...200260300...销售量y（件）...600300100...(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当售价为280元时，每天获得的利润是多少元？4. (2019陕西定心卷)八宝甑糕是以糯米、红(蜜)枣、红芸豆、莲子、杏仁等食材为原料制作的一种中式小吃，某八宝甑糕专卖店每天固定制作甲、乙两种口味的八宝甑糕共800份，且当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如下表所示：原料成本(元/份)销售单价(元/份)生产提成(元/份)甲种口味4102乙种口味38 1.5设该店每天制作甲种口味的八宝甑糕x份，每天获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若该店每天投入总成本不超过4080元，应怎样安排甲、乙两种口味甑糕的制作量，可使该店一天所获得的利润最大？并求出最大利润.(注：投入总成本＝原料成本＋生产提成，利润＝销售收入－投入总成本)参考答案类型一文字型1. 解：(1)购进A 种图书x 本，则购进B 种图书(80－x )本， ∴y ＝50x ＋70(80－x )＝－20x ＋5600， ∵－20x ＋5600≤5000， ∴x ≥30， 又∵x ≤45， ∴30≤x ≤45，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－20x ＋5600(30≤x ≤45)； (2)令y ＝－20x ＋5600＝4920， 解得x ＝34， ∴80－34＝46(本)， ∴购买B 种图书46本． 2. 解：(1)由题意可得，y 1＝{20x （x ≤10）14x ＋60（x ＞10）， y 2＝17x ＋9；(2)当y 2＜y 1时，由(1)可得， 当x ≤10时，17x ＋9＜20x ， 解得x ＞3， ∴3＜x ≤10；当x ＞10时，17x ＋9＜14x ＋60， 解得x ＜17， ∴10＜x ＜17.综上所述，在乙商店购买所需总费用小于甲商店购买所需总费用时，x 的取值范围为3＜x ＜17. 3. 解：(1)根据题意，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝20时，y ＝2， 当x ＝50时，y ＝8，∴当行李的重量x 超过规定时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2；(2)当y ＝0时，15x －2＝0，解得x ＝10.答：旅客最多可免费携带行李10 kg. 4. 解：(1)方案一：y ＝(m ＋0.5)x ， 方案二：y ＝mx ＋1200； (2)令(m ＋0.5)x >mx ＋1200，解不等式，得x>2400，∴当购买量x的取值范围为2400<x≤3000时，选择方案二比方案一付款少；(3)当m＝8时，方案一：y＝8.5x，方案二：y＝8x＋1200.由题意得：方案一可购买甜瓜25000÷8.5≈2941(kg)，方案二可购买甜瓜(25000－1200)÷8＝2975(kg)．∵2975>2941，∴他在这两种方案中，应选择方案二．类型二图象型1.解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车行驶了150千米，∴1千瓦时的电量汽车能行驶15060－35＝6(千米)；(2)设y＝kx＋b(k≠0)，把点(150，35)、(200，10)代入，∴y＝－0.5x＋110.当x＝180时，y＝－0.5×180＋110＝20.答：当150≤x≤200时，y关于x的函数表达式为y＝－0.5x＋110，当汽车行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．2.解：设AB段对应的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，∵y＝kx＋b(k≠0)的图象过点A(1.5，30)，B(2.5，80)，∴将A、B两点坐标代入函数关系式，∴AB段对应的函数关系式为y＝50x－45(1.5≤x≤2.5)；(2)设CD段对应的函数关系式为y＝mx＋n(m≠0)，由题知y＝mx＋n(m≠0)的图象过点C(6.5，80)，D(8.5，0)，∴将C、D两点坐标代入函数关系式，∴CD段对应的函数关系式为y＝－40x＋340(6.5≤x≤8.5)．AB段：当y＝40时，即40＝50x－45，解得x＝1.7；CD段：当y＝40时，即40＝－40x＋340，解得x＝7.5，∴当小明一家出发1.7小时或7.5小时时，离家的距离为40千米． 3. 解：(1)由图象可知，乘车4 h 时，小刚一家离家的距离为380 km ， ∴小刚家到该景区乘车一共用了4 h ；(2)设线段AB 对应的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 把点A (1，80)、B (3，320)分别代入，∴线段AB 对应的函数关系式为y ＝120x －40(1≤x ≤3)；(3)当x ＝2.5时，y ＝120x －40＝120×2.5－40＝260，即此时离家260 km ， 则离目的地380－260＝120 km ，答：小刚一家出发2.5 h 时离目的地120 km.4. 解：(1)设小王和小李的速度分别a km/h ，b km/h(a ＜b )，结合图象可知：答：小王和小李的速度分别是10 km/h ，20 km/h ；(2)由题意得，相遇后小李走完剩余路程所用时间为30－2020＝0.5 (h )，∴点C 的坐标为(1.5，15)． 又∵点B 的坐标为(1，0)，∴设线段BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，∴线段BC 的函数解析式为y ＝30x －30(1≤x ≤1.5)．类型三 表格型1. 解：(1)根据题意得，y 与x 之间的函数关系式为y ＝6x ＋4(8－x )＝2x ＋32； (2)由题可得：1200x ＋1000(8－x )≥8300， 解得x ≥32，∵在y ＝2x ＋32中，k ＝2＞0， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝2时，y 取得最小值， ∴y 最小＝2×2＋32＝36，∴该公司至少需要投入资金36万元．2. 解：(1)根据题意可得y ＝1×15x ＋1×25×(110－x )＋1×20×(80－x )＋1×20×(x －10)，即y关于x的函数表达式为y＝－10x＋4150；(2)∵－10<0，且10≤x≤80，∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝－10×80＋4150＝3350.答：当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是3350元．3.解：(1)设销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由表格中数据可得，∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋1600；(2)当x＝280时，y＝－5×280＋1600＝200，∴(280－180)×200＝20000(元)．答：当售价为280元时，每天获得的利润是20000元．4.解：(1)该店每天制作甲种口味的八宝甑糕x份，则制作乙种口味的八宝甑糕(800－x)份，∴y＝(10－4－2)x＋(8－3－1.5)×(800－x)＝4x＋2800－3.5x＝0.5x＋2800，即y＝0.5x＋2800；(2)由题意得(4＋2)x＋(3＋1.5)×(800－x)≤4080，解得x≤320，∵y＝0.5x＋2800，其中0.5>0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝320时，800－x＝480，y最大＝0.5×320＋2800＝2960，∴安排甲、乙两种口味甑糕的制作量分别为320份、480份时，可使该店一天所获得的利润最大，最大利润为2960元．。