2020年日本数学奥林匹克决赛试题
一、求所有正整数对(m,n ),使得422112+++-m m
n n 和都是整数。
二、在△ABC 中,BC <AC 。
点D 、E 分别位于线段AB 、AC 上。
满足BD=CE=BC 。
直线BE 与CD 交于点P 。
△ABE 的外接圆和△ACD 的外接圆再次交于点Q 。
求证:PQ ⊥BC 。
三、求所有的函数++→Z Z f :,使得对所有的正整数m,n 均有 ()()()()22
222n m f n f m n f m +≥-++ 四、设整数n ≥2.在圆周上有3n 个不同的点,井上和松下对它们进行如下操作:首先,井上任选两个未连接过的点,将它们用一条线段连起来。
随后,松下任选一个没有放置过棋子的点,在上面放一个棋子.以上记为一个回合。
请证明;无论松下怎么操作,井上可以保证,在n 回合之后,恰有一端有
棋子的线段的个数不小小于
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n。
五、求所有正整数构成的满足以下条件的无穷数列{}1≥n
a n:存在满足条件的常数C>0,使得gcd(a m+n,a n+m)>c(m+n).。