一元二次方程一、中考要求：1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．3．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．4．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:(二)中考热点：本章多考查一元二次方程的解法及应用，另外本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力．根据已知方程编写实际问题的应用题也是中考热点．三、中考命题趋势及复习对策本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，题型有填空、选择、解答．中考对数学思想方法的考查一方程的应用将进一步提高，对方程的应用将会加大力度，一大批具有较强的时代气息、格调清新、设计自然，紧密联系日常实际生活的应用题将会不断涌现．针对中考命题趋势，在复习时应掌握解方程的方法，还应在方程的实际应用上多下功夫，加大力度，多观察日常生活中的实际问题★★★(I)考点突破★★★考点1：一元二次方程的解法一、考点讲解：1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=(b2－4ac≥0)⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、青岛，3分）用换元法解方程 时，若设2222x y x ++=+，则原方程可化为（ ）A ．y 2+y ＋2 ＝0B ．y 2－ y —2 ＝＝ 0C ．y 2－y+ 2＝0D 、y 2+y －2 = 0解：D 。

点拨：此题是考查的是“整体”思想。

【考题1－2】（2004、开福）解方程：x 2＋2x －3=0解：x 2＋2x －3=0，x 2＋2x =3，即x+l=2或x+1=2．所以x 1=1，x 2 =3．点拨：考查解方程的知识，还可用公式法或因式分解法解．【考题1－3】（2004、青岛，6分）已知方程5x 2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值．解：设方程的另一根是x ，那么，11055x -=-12222,x =,+(-5),5[5555k =-=--所以又因为所以+(－5)=－k 5 ，所以k=－5×［25+(-5)］=23. 答：方程的另一根是25，k 的值是23．点拨：利用根与系数的关系来解． 三、针对性训练：( 分钟) (答案： )1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21A x xB x yC ax bx cD x x x +=++-=++=+=- 2、若22324x ( )x x +-与互为相反数，则的值为A ．12B 、2C 、±2D 、±123、关于x 的一元二次方程22(1)2m x x m m +++-30-=，则m 的值为（ ）A ．m=3或m=－1 B. ．m=－3或m= 1C ．m=－1D ．m=－34、方程22(1)280m x x -+-=的一个根是2，则另一个根是_____________.5、已知一元二次方程x 2 +2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.6、解方程：3(1)2(1)y y y -=-考点2：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．2．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004、海口，8分）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(500－2 0 x)（10+x ）=6000．整理，得x 2－15x ＋50=0．解这个方程，x 1=5，x 2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克应涨价5元．．点拨：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．【考题2－2】（2004、深圳南山区副卷）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．解：设与墙相接的两边长都为x 米，则另一边长为()332x -米，依题意得()332130x x -=22331300x x -+=∴110x = 2132x =又∵ 当110x =时，()33213x -= 当2132x =时，()33220x -=＞15 ∴132x =不合题意，舍去．∴10x = 答：花圃的长为13米，宽为10米．三、针对性训练：( 分钟) (答案： )1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶酸奶？2．某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2．8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0．5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出45时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素片若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？3．在抗击“ SARS ”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服．开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲多做了2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲、乙两人同时完成了任务．求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？4．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年年初投人资金相加所得的总资金作为下一年年初投人资金，继续进行经营，如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点门第二年的年获利率是第一年的年获利率与10％的和人第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年利率．★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★（12分90分钟）（256）【回顾1】（2005、绍兴，4分）钟老师出示了小黑板上的题目(如图1－2－2）后，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”．则你认为（）A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确C．小敏小聪回答都正确D．小敏A聪回答都不正确【回顾2】（2005、河北，2分）解一元二次方程x2－x－12=0，结果正确的是（）A．x1=－4，x2=3 B．x1=4，x2=－3 C．x1=－4，x2=－3 D．x1=4，x2=3【回顾3】（2005、安徽，4分）方程+=+解是（）(3)(3)x x xA．x1=1 B．x1=0，x2=－3C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=－3【回顾4】（2005、杭州，3分）若t是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=(2a+b)2的关系是（）A．Δ=M B．Δ＞MC．Δ＜M D．大小关系不能确定【回顾5】（2005、湖州，3分）方程2(1)0x x -= 的根是（ ）A ．0B ．1C ．0，－1D ．0，1【回顾6】（2005、湖州，3分）已知一元二次方程x 2 － 2x －7=0的两个根为x 1，x 2，则x 1 + x 12的值为（）A ．－2B ．2C ．－7D ．7【回顾7】（2005、温州）已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1 ＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2 的值是() A 、3 B 、－3 C 、13 D 、1 【回顾8】（2005、温州）用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ）A 、y 2＋y －6＝0B 、y 2－y －6＝0C 、y 2－y ＋6＝0D 、y 2＋y ＋6＝0【回顾9】（2005、嘉峪关，3分）方程x 2－5x=0的根是（）A ．0B ．0，5C ．5，5D ．5【回顾10】（2005、嘉峪关，3分）若关于x 的方程x 2 ＋2x ＋k=0有实数根，则（ ）A ．k ＜1，B ．k ≤1C ．k ≤－1D ．k ≥－1【回顾11】（2005、金华）如果一元二次方程x 2－4x ＋2＝0x 1＋x 2等于（ ）A. 4B. －4C. 2D. －2【回顾12】（2005、金华）用换元法解方程(x 2－x)－x 2－x ＝6时，设x 2－x ＝y ，那么原方程可化为（ ）A. y 2＋y －6＝0B. y 2＋y ＋6＝0C. y 2－y －6＝0D. y 2－y ＋6＝0 【回顾13】（2005、衢州）设x 1，x 2是方程2x 2+3x-2=0)A ．-3B ．3C ．－23D ．23【回顾14】（2005、衢州）方程x 3-x=0的解是（ ）A ．0，1B ．1，-1C ．0，-1D ．0，1，－1【回顾15】（2005、嘉峪关，3、分）用换元法解方程25x ()40=y,11x+1x x x x -+=++时，若设则原方程__ 【回顾16】（2005、杭州，4分）两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________【回顾17】（2005、江西，3分）方程x 2－x=0的解是______________【回顾18】（2005、，内江，4分）等腰△ABC 中，BC=8，AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m= 0的两根，则m 的值是________.【回顾19】（2005、南充，3分）关于x 的一元二次方程ax 2 +2x+1=0的两个根同号，则a 的取值范围是________________.【回顾20】（2005【回顾21】（2005、金华）解方程：x 3－2x 2－3x ＝0.【回顾22】（2005、湖州）解方程组：22y=x+1x +y =5⎧⎨⎩【回顾23】（2005、自贡，5分）解方程：2（x －1）25（x －l ）+2=0．F A B DE【回顾24】（2005、重庆）解方程：x 2 －2x －2=0【回顾25】（2005、武汉）解方程：x 2 +5x+3=0【回顾26】（2005、丽水）已知关于x 的一元二次方程2(1)60x k x -+-=的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．【回顾27】（2005、嘉峪关，7分）已知关于 x 的一元二次方程22(4)3340k x x k k ++++-=的一个根为0，求k 的值．【回顾28】（2005、河南）要到玻璃店配一块面积为1 . 21m 2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为______【回顾29】（2005、南昌，3分）如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．★★★(III)2006年中考题预测★★★（80分 60分钟） (257）一、基础经典题( 44分)(一)选择题(每题4分，共28分 )【备考1】如果在－1是方程x 2+mx －1=0的一个根，那么m 的值为（ ）A ．－2B ．－3C ．1D ．2【备考2】方程2(3)5(3)x x x -=-的解是（ ）A ．12553 . .3, .322x B x C x x D x =====-【备考3】若n 是方程20x mx n ++=的根，n ≠0，则m+n 等于（ ）A ．－7B ．6C ．1D ．－1【备考4】关于x 的方程20x mx n ++=的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）A ．m ＝0，n ＝0B ．m ＝0，n ≠0C ．m ≠0，n = 0D ．m ≠0，n ≠0【备考5】以5－26 和5+2 6 为根的一元二次方程 是（ ）A ．21010x x -+=B ．21010x x -+=C ．21010x x -+=D ．21010x x -+=【备考6】已知x 1，x 2是方程x 2－x －3=0的两根，那么x 12+x 22的值是（ ）A ．1B ．5C ．7D 、494【备考7】已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（ ）A ．2B ．－1C ．0D ．l “（二）填空题（每题4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程x 2＋3x+1=0的两个根为x 1，x 2，那么（1+ x 1）（1+ x 2）的值等于_______.【备考9】已知一个一元二次方程x 2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P 的值是_______.【备考10】关于x 的方程2(1)3(2)k x k x ++-+2420k -=的一次项系数是－3，则k=_______【备考11】关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-= 是一元二次方程，则a=__________. 【备考12】飞机起飞时，要先在跑道上滑行一 段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公式为S=12at 2，若某飞机在起飞前滑过了4000米的距离，其中a=20米／秒，求所用的时间t ．三、实际应用题（9分）【备考13】2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4．65％，尚未达到国家A 级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8％以上，若要达到最低目标8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）．四、渗透新课标理念题（每题10分，共20分）【备考14】（阅读理解题）阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．已知：m是关于x的方程mx2－2x ＋m＝0的一个根，求m的值．解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．【备考15】（阅读理解题）阅读材料，解答问题：为解方程222x x---+=，我们可以将x2－l看作一个整体，然后设x2－l=y，(1)5(1)40那么原方程可化为y2－5y＋4=0①，解得y1 =1，y2=4．当y1=l时，x2－l=1．所以x2 =2．所以x=± 2 ；当y=4时，x2－1=4．所以x2=5．所以x=± 5 ,故原方程的解为x1= 2 ，x2=－ 2 ，x3= 5 ，x4= 5 ；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．请利用以上知识解方程：x4－x2－6 ＝0．。