（2019•郴州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 2 ．考点： 根的判别式． 专题： 计算题． 分析： 根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b 的值． 解答： 解：根据题意得：△=b 2﹣4（b ﹣1）=（b ﹣2）2=0， 则b 的值为2． 故答案为：2 点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．（2019•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ） A ． 168（1+x ）2=128 B ． 168（1﹣x ）2=128 C ． 168（1﹣2x ）=128 D ． 168（1﹣x 2）=128考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题． 分析： 设每次降价的百分率为x ，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x ），第二次后的价格是168（1﹣x ）2，据此即可列方程求解． 解答： 解：根据题意得：168（1﹣x ）2=128，故选B ． 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． （2019，娄底）已知：一元二次方程021212=-++k kx x . （1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设0<k ，当二次函数21212-++=k kx x y 的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点)0(m M ，作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与ABC △的外接圆有公共点？（2019，永州）我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-.若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。
并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-==-=-==-=,从而对于任意正整数n ,我们可以得到()4144nn n ii i i i i +=⋅=⋅=, 同理可得421n i +=- , 43n i i +=- , 41n i = .那么23420122013i i i i i i ++++⋅⋅⋅++的值为( )A. 0B. 1C.1-D. i方程x 2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 专题： 计算题；分类讨论． 分析：求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可． 解答： 解：x 2﹣9x+18=0， ∴（x ﹣3）（x ﹣6）=0， ∴x ﹣3=0，x ﹣6=0， ∴x 1=3，x 2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15， 故答案为：15． 点评：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想． （2004•广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题． 分析： 本题是平均增长率问题，一般形式为a （1+x ）2=b ，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．如果设平均增长率为x ，那么结合到本题中a 就是400×（1+10%），即3月份的营业额，b 就是633.6万元即5月份的营业额．由此可求出x 的值． 解答：解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x ， 根据题意得，400×（1+10%）（1+x ）2=633.6， 解得，x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意舍去）． 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%． 点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b （当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．（2019，成都）一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是（ ） （A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根（2019•达州）若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（）答案：B解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，△＝36－12m＞0，得m＜3，故选B （2019•达州）今年，6月12日为端午节。
在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。
请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。
（1）小华的问题解答：解析：（1）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得（x-2)（500-1.03-x×10）=800 .………………………(2分）整理得：x2-10x+24=0.解之得：x1=4,x2=6.………………………(3分）∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%=4.8（元）. ∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.………………………(4分）（2）解：设每天利润为W元，定价为x元/个，得W=（x-2)(500-1.03-x×10)=-100x2+1000x-1600=-100(x-5)2+900.………………………(6分）∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8，∴当x=4.8 时，W最大，W最大=-100×（4.8-5)2+900=896＞800 .………………………(7分）故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.………………………(8分）（2019•广安）如果a 3x b y 与﹣a 2y b x+1是同类项，则（ ） A ．B ．C ．D ．考点： 解二元一次方程组；同类项． 专题： 计算题 分析： 根据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可． 解答：解：∵a 3x b y 与﹣a 2y b x+1是同类项，∴，②代入①得，3x=2（x+1）， 解得x=2，把x=2代入②得，y=2+1=3， 所以，方程组的解是．故选D ． 点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，根据同类项的“两同”列出方程组是解题的关键．（2019•广安）方程x 2﹣3x+2=0的根是 1或2 ．考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 因式分解． 分析： 由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解． 解答： 解：因式分解得，（x ﹣1）（x ﹣2）=0，解得x 1=1，x 2=2． 点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． （2019•乐山）已知一元二次方程x 2- (2k+1)x +k 2+k=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.（2019•泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A.1k >-B.1k <且0k ≠C. 1k ≥-且0k ≠D. 1k >-且0k ≠（2019•泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为 A.5 B.-5 C.1 D.-1（2019•眉山）已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______（2019•绵阳）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 。
（2019•雅安）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x=0的两根，则x 1+x 2的值是（ ） A ． 0 B ． 2 C ． ﹣2 D ． 4考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题． 分析： 利用根与系数的关系即可求出两根之和． 解答： 解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x=0的两根，∴x 1+x 2=2． 故选B 点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． （2019宜宾）若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k=1D ．k ≥0 考点：根的判别式．分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2﹣4ac 的值的符号就可以了． 解答：解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k ， ∴△=b 2﹣4ac=22﹣4×1×k ＞0， ∴k ＜1， 故选：A ． 点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．（2019宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x ，根据题意所列方程是 25（1+x ）2=36 ． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：增长率问题．分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程． 解答：解：设这个增长率为x ， 根据题意可得：25（1+x ）2=36， 故答案为：25（1+x ）2=36．点评：本题为增长率问题，一般形式为a （1+x ）2=b ，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．2019•自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．（填上你认为正确结论的所有序号）考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；（2）根据两根之积就可以判定是否正确；（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确．解答：解：①∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣2）=（a﹣b）2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②∵x1x2=ab﹣1＜ab，故②正确；③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2．故③错误；综上所述，正确的结论序号是：①②．故答案是：①②．点评：本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握．（2019•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，开方，得x+=±，解得x 1=，x 2=．当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根． 点评：本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方． （2019鞍山）已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x ﹣1）2=b 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根 考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：根据直接开平方法可得x ﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根． 解答：解：∵（x ﹣1）2=b 中b ＜0， ∴没有实数根， 故选：C ．点评：此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．（2019•大连）若关于ｘ的方程x ２-４x ＋ｍ＝０没有实数根，则实数ｍ的取值范围是( )Ａ.ｍ＜-4 Ｂ.m ＞-4 Ｃ.m ＜4 Ｄ.M ＞4（2019•沈阳）若关于x 的一元二次方程240x x a +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值方位是 _________．（2019•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ） A ． 5.5 B ． 5 C ． 4.5 D ． 4考点： 三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 分析：首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l 的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l 的一半，从而求得中点三角形的周长的范围，从而确定． 解答： 解：解方程x 2﹣8x+15=0得：x 1=3，x 2=5，则第三边c 的范围是：2＜c ＜8．则三角形的周长l 的范围是：10＜l ＜16，∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m 的范围是：5＜m ＜8． 故满足条件的只有A ． 故选A ．点评： 本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键．（2019•鄂州）下列计算正确的是（ ） A ． a 4•a 3=a 12 B ． C ． （x 2+1）0=0 D ． 若x 2=x ，则x=1考点： 解一元二次方程-因式分解法；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂． 分析： A 、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加； B 、通过开平方可以求得的值；C 、零指数幂：a 0=1（a ≠0）；D 、先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解方程．解答： 解：A 、a 4•a 3=a （4+3）=a 7．故本选项错误；B 、==|3|=3，故本选项正确；C 、∵x 2+1≠0，∴（x 2+1）0=1．故本选项错误；D 、由题意知，x 2﹣x=x （x ﹣1）=0，则x=0或x=1．故本选项错误． 故选B ． 点评：本题综合考查了零指数幂、算术平方根、同底数幂的乘法以及解一元二次方程﹣﹣因式分解法．注意，任何不为零的数的零次幂等于1．（2019•鄂州）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+a=0的两个解，若（m ﹣1）（n ﹣1）=﹣6，则a 的值为（ ） A ． ﹣10 B ． 4 C ． ﹣4 D ． 10考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题． 分析： 利用根与系数的关系表示出m+n 与mn ，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n 与mn 的值代入即可求出a 的值． 解答：解：根据题意得：m+n=3，mn=a ， ∵（m ﹣1）（n ﹣1）=mn ﹣（m+n ）+1=﹣6， ∴a ﹣3+1=﹣6， 解得：a=﹣4． 故选C 点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． （2019•黄冈）已知一元二次方程062=+-c x x 有一个根为2，则另一根为（ ）A.2B.3C.4D.8（2019•黄石）解方程：221222253x y x ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩解析：解：依题意221222253x y x ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩····················· （2分） ①由①得 22421x y +=- ③由②得 2253x =+ ④将④代入③化简得296550y y ++= ············ （4分）即 1253y y ==-代入②得 1216x x ==- ∴原方程组的解为12121653x x y y ⎧==-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩（2019•荆门）设x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2019=0的两实数根，则=2019 ．考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 分析： 由原方程可以得到x 2=x+2019，x=x 2﹣2019=0；然后根据一元二次方程解的定义知，x 12=x 1+2019，x 1=x 12﹣2019=0．由根与系数的关系知x 1+x 2=1，所以将其代入变形后的所求代数式求值． 解答： 解：∵x 2﹣x ﹣2019=0，∴x 2=x+2019，x=x 2﹣2019=0．又∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2019=0的两实数根， ∴x 1+x 2=1，∴=x 1•+2019x 2+x 2﹣2019，=x 1•（x 1+2019）+2019x 2+x 2﹣2019，=（x 1+2019）+2019x 1+2019x 2+x 2﹣2019， =x 1+x 2+2019（x 1+x 2）+2019﹣2019， =1+2019， =2019，故答案是：2019． 点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．对所求代数式的变形是解答此题的难点．（2019•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0 （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1， x 2,且│x 1－x 2│=2,求k 的值.（2019•潜江）已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为A ．-1 B. 9 C. 23 D. 27（2019•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 1 D ． ﹣1考点： 根的判别式． 专题： 计算题． 分析： 根据根的判别式的意义得到△=22﹣4•（﹣a ）=0，然后解方程即可． 解答： 解：根据题意得△=22﹣4•（﹣a ）=0，解得a=﹣1． 故选D ． 点评： 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． （2019•武汉）若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 答案：B解析：由韦达定理，知：12cx x a=＝－3。