万有引力与航天知识梳理知识点一、万有引力定律及其应用1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。

2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

知识点二、环绕速度1．第一宇宙速度又叫环绕速度。

2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。

4．第一宇宙速度的计算方法(1)由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GMR＝7.9 km/s(2)由mg ＝m v 2R得v ＝gR ＝7.9 km/s知识点三、第二宇宙速度和第三宇宙速度名称 大小挣脱第二宇宙速度（逃逸速度） 11.2 km/s地球的引力束缚第三宇宙速度16.7 km/s太阳的引力束缚 知识点四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2。

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

3．狭义相对论的两条基本假设(1)相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的。

(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。

[思考判断](1)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。

( )(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。

( ) (3)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小。

( )(4)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。

( ) (5)地球同步卫星根据需要可以定点在北方正上空。

( )(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。

( ) (7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s 。

( ) (8)牛顿运动定律可以解决自然界中的所有问题。

( )(9)狭义相对论认为在不同惯性参考系中真空中的光速不变。

( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√ (8)× (9)√考点精练考点一 万有引力定律的理解及应用 1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图1所示。

图1(1)在赤道上：G Mm R 2＝mg 1＋mω2R 。

(2)在两极上：G Mm R2＝mg 2。

(3)在一般位置：万有引力G Mm R2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。

越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg 。

2．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R2(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′mg ′＝GMm （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2所以g g ′＝（R ＋h ）2R 2对应训练1．[物理学史](多选)第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。

下列有关万有引力定律的说法中正确的是( )A ．开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆B ．太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星C ．库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G 的数值D ．牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律的知识解析 开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳与行星之间引力的规律既适用于其他行星，也适用于行星与它的卫星，选项A 正确，B 错误；引力常量G 的数值是卡文迪许测出的，选项C 错误；牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律的知识，选项D 正确。

答案 AD2．[万有引力定律的应用](多选)如图2所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R 。

下列说法正确的是( )图2A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm（r －R ）2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2解析 地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误。

答案 BC3．[重力加速度的计算]宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0B.GM（R ＋h ）2 C.GMm（R ＋h ）2D.GM h 2解析 对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律得，GMm（R ＋h ）2＝mg ′，解得飞船所在处的重力加速度为g ′＝GM（R ＋h ）2，B 项正确。

答案 B考点二 中心天体质量和密度的估算 中心天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知 量利用公式表达式 备注质量的计利用运行天体r 、T G Mm r 2＝mr 4π2T2 M ＝4π2r3GT2只能得到中心天体的质量r 、vG Mm r 2＝m v 2r M ＝rv 2G算v、TGMmr2＝mv2rGMmr2＝mr4π2T2M＝v3T2πG利用天体表面重力加速度g、R mg＝GMmR2M＝gR2G—密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2M＝ρ·43πR3ρ＝3πr3GT2R3当r＝R时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝ρ·43πR3ρ＝3g4πGR—对应训练1．[中心天体质量的计算](2016·海南单科，7)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。

假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。

这两个物理量可以是( )A．卫星的速度和角速度B．卫星的质量和轨道半径C．卫星的质量和角速度D．卫星的运行周期和轨道半径解析根据线速度和角速度可以求出半径r＝vω，根据万有引力提供向心力则：GMmr2＝m v2r，整理可以得到：M＝v2rG＝v3Gω，故选项A正确；由于卫星的质量m约掉，故与卫星的质量无关，故选项B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则GMmr2＝m(2πT)2r，整理得到M＝4π2r3GT2，故选项D正确。

答案AD2．[中心天体密度的估算]近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。

如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)( )A ．ρ＝k TB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT2D ．ρ＝k GT 2解析 由万有引力定律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，联立M ＝ρ·43πR 3和r ＝R ，解得ρ＝3πGT2，3π为一常数，设为k ，故D 正确。

答案 D 方法技巧估算天体质量和密度的“四点”注意(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星，才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的“R ”只能是中心天体的半径。

(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等。

(4)注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用。

考点三 卫星的运动规律1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律万有引力提供向心力：即由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n 可推导出：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GM rω＝GM r 3T ＝4π2r3GM a n＝G Mr2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小 2．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。

(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。

3．同步卫星的六个“一定”【典例】 2016年10月17日，我国利用长征二号FY11运载火箭成功将“神舟十一号”载人飞船送入离地面高度约为393 km 的轨道。

已知地球半径约为6 400 km 。

若将“神舟十一号”飞船的运行轨道视为圆轨道，则与地球同步卫星相比，“神舟十一号”飞船的( )A ．周期大B ．角速度小C ．线速度大D ．向心加速度小解析 由G Mm r 2＝mr (2πT )2可得T ＝2πr 3GM，由于离地面高度约为393 km 的轨道运行的“神舟十一号”飞船轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以“神舟十一号”飞船的周期小，选项A 错误；由G Mm r2＝mrω2，知ω＝GMr 3，所以“神舟十一号”飞船的角速度大，选项B 错误；由G Mm r 2＝m v 2r 可得v ＝GMr，所以“神舟十一号”飞船的线速度大，选项C正确；由G Mm r 2＝ma 解得a ＝G Mr2，所以“神舟十一号”飞船的向心加速度大，选项D 错误。

答案 C 方法技巧处理卫星运动问题紧抓以下两点 (1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。

(2)两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r ＝mamg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)对应训练1．[近地卫星] 若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )A ．2 km/sB ．4 km/sC ．16 km/sD ．32 km/s解析 由G Mm R 2＝m v 2R得v ＝GMR ＝8 km/s ，某行星的“第一宇宙速度”为v ′＝GM ′r＝6GM1.5R ＝16 km/s 。