直线与圆的位置关系中考要求重难点1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．课前预习切线（tangent line ）几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。

更准确的说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的，此时，“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）。

tangent 在拉丁语中就是to touch 的意思。

类似的概念也可以推广到平面相切等概念中。

曲线切线和法线的定义P 和Q 是曲线C 上邻近的两点，P 是定点，当Q 点沿着曲线C 无限地接近P 点时，割线PQ 的极限位置PT 叫做曲线C 在点P 的切线，P 点叫做切点；经过切点P 并且垂直于切线PT 的直线PN 叫做曲线C 在点P 的法线（无限逼近的思想）说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．这种定义不适用于一般的曲线；PT 是曲线C 在点P 的切线，但它和曲线C 还有另外一个交点；相反，直线l 尽管和曲线C 只有一个交点，但它却不是曲线C 的切线．例题精讲模版一 直线与圆位置关系的确定设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：1. 切线的性质（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．l2. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三．三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbc baO FEDCBAC BACBA设a．b．c分别为ABC△中A∠．B∠．C∠的对边，面积为S，则内切圆半径为srp=，其中()12p a b c=++．若90C∠=︒，则()12r a b c=+-．【例1】（2011•成都）已知O的面积为29cmπ，若点O到直线l的距离为cmπ，则直线l与O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【难度】1星【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离π比较即可．【答案】设圆O的半径是r，则29rππ=，∴3r=，∵点O 到直线l 的距离为π， ∵3π<， 即：r d <，∴直线l 与O 的位置关系是相离， 故选C ．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r d <时相离；当r d =时相切；当r d > 时相交．【巩固】（2010•湘西州）如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定【难度】1星【解析】欲求圆与AB 的位置关系，关键是求出点C 到AB 的距离d ，再与半径r 进行比较．若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【答案】∵圆的半径是8cm ，圆心到直线的距离也是8cm ，∴直线与圆相切． 故选C ．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．【巩固】已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与O 的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交．相切．相离都有可能【难度】1星【解析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【答案】∵垂线段最短，∴圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交．相切．相离都有可能． 故选D ．【点评】判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．【巩固】ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．给出下列三个结论：（1）以点C 为圆心，2.3 cm 长为半径的圆与AB 相离； （2）以点C 为圆心，2.4 cm 长为半径的圆与AB 相切； （3）以点C 为圆心，2.5 cm 长为半径的圆与AB 相交； 则上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】2星【解析】此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C 作CD AB ⊥于D ，根据勾股定理得5AB =，再根据直角三角形的面积公式，求得 2.4CD =．（1），即d r >，直线和圆相离，正确；（2），即d r =，直线和圆相切，正确；（3），d r <，直线和圆相交，正确．共有3个正确．【答案】（1），d r >，直线和圆相离，正确；（2），d r =，直线和圆相切，正确；（3），d r <，直线和圆相交，正确．故选D ．【点评】此题首先根据勾股定理以及直角三角形的面积公式求得直角三角形斜边上的高．掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系时解决问题的关键．【拓展】已知：点P 到直线L 的距离为3，以点P 为圆心，r 为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r 的取值范围是（ ） A ．1r >B ．2r >C ．24r <<D ．15r <<【解析】首先要确定所画的圆与直线的位置关系．根据题意可知，圆与直线有两种情况符合题意：当圆与直线l 外离时，1r >即可；当圆与直线相交时，要求5r >，所以15r <<．【答案】根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线L 的距离均为2，则当圆与直线l 外离时，1r >； 当圆与直线相交时，5r <； 所以15r <<． 故选D ．【点评】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．【例2】 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，4BC cm =，以点C 为圆心，以2cm 的长为半径作圆，则C 与AB 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交【难度】2星【解析】作CD AB ⊥于点D ．根据三角函数求CD 的长，与圆的半径比较，作出判断． 【答案】作CD AB ⊥于点D ．∵30B ∠=︒，4BC cm =， ∴2CD cm =，等于半径． ∴AB 与C 相切． 故选B ．【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R 与圆心到直线的距离d 的大小判断：当R d >时，直线与圆相交；当R d =时，直线与圆相切；当R d <时，直线与圆相离．【巩固】如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【难度】2星【解析】要判断直线CD 与O 的位置关系，只需求得AB 的中点到CD 的距离，根据梯形的中位线定理进行求解．根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断：若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【答案】作OE CD ⊥于E ．∵AD BC ∥，90C ∠=︒，OE CD ⊥， ∴AD OE BC ∥∥，又OA OB =， ∴DE CE =． ∴2AD BCOE +=． 又AB AD BC >+， ∴2AB OE <， 即圆心到直线的距离小于圆的半径，则直线和圆相交． 故选C ．【点评】此题要利用梯形的中位线定理，得到圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，从而解决问题．【巩固】正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点（不包括端点），以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与P 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【难度】2星【解析】根据正方形的对角线平分一组对角，以及角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P 到AD 的距离等于点P 到AB 的距离．所以若以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与P 的位置关系是相切．【答案】∵点P 到AD 的距离等于点P P 到AB 的距离，以P 为圆心的圆与AB 相切，∴AD 与P 的位置关系是相切． 故选B ．【点评】综合运用了正方形的性质和角平分线的性质．【拓展】如图，矩形ABCG （AB BC <）与矩形CDEF 全等，点B C D ，，在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】3星【解析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．【答案】连接AE．AC．CE，如图在AEC△中，∵ABC CDE≌△△，∴90ACE∠=︒，然后画出以AE为直径半圆，发现存在的P点实际上有两个【点评】本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．【例3】如图，点P在y轴上，P交x轴于A B，两点，连接BP并延长交P于C，过点C的直线交x轴于D，且P5，4AB=．若函数kyx=（0x<）的图象过C点，则k的值是（）yxOPDCBAA．4±B．﹣4 C．5-D．4【难度】3星【解析】本题的关键是求出C点的坐标，由于BC是P的直径，那么连接AC后三角形ACB就是直角三角形，已知BC，AB的长，可通过勾股定理求出AC的值，那么即可得出C点的坐标，将C的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值．【答案】连接AC，则AC AB⊥，如图所示：在Rt ABC △中，4AB =，BC =， ∴2AC =，∵OP AB ⊥，AC AB ⊥， ∴AC OP ∥， ∵BP PC =，4AB =， ∴2OA OB ==，∴C 的坐标为()22-，，将C 的坐标代入ky x=（0k <）中，可得4k xy ==-故选B ． 【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的方法，难度适中，主要掌握用数形结合的思想求出C 点的坐标是解题的关键．【巩固】已知在直角坐标系中，以点()03A ，为圆心，以3为半径作A ，则直线2y kx =+（0k ≠）与A 的位置关系是（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．与k 值有关【解析】要判断直线2y kx =+（0k ≠）与A 的位置关系，只需求得直线和y 轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析．【答案】因为直线2y kx =+与y 轴的交点是()02B ，，所以1AB =． 则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和A 一定相交．故选B ．【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．【例4】 如图所示，在直角坐标系中，A 点坐标为()32--，，A 的半径为1，P 为x 轴上一动点，PQ 切A 点Q ，则当PQ 最小时，P 点的坐标为（ ）A ．（﹣4，0）B ．（﹣2，0）C ．（﹣4，0）或（﹣2，0）D ．（﹣3，0）【难度】3星【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ 的最小值转化为求AP 的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．【答案】连接AQ ，AP ．根据切线的性质定理，得AQ PQ ⊥； 要使PQ 最小，只需AP 最小，则根据垂线段最短，则作AP x ⊥轴于P ，即为所求作的点P ； 此时P 点的坐标是()03，． 故选D ．【点评】此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．【巩固】如图，在ABC △中，15AB =，12AC =，9BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB 、CA分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是（ ） A ．512B ．365C ．152D ．8【难度】3星【解析】取EF 中点O ，作OG AB ⊥于点G 点，连接CO ，当连接CG ，根据COG △三边关系∵CG CO OG <+，当C O G 、、三点共线时，直径EF 取得最小值，∴365AC BC EF AB ⋅==【答案】B【巩固】如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．22-D ．2【难度】3星【解析】过E 点作EH AB ⊥，△ABE 面积的最小值，即EH 最小，故BAE ∠最小，EAO∠最大，即AD 为C 的切线，∵ADC AOE △∽△，故1222222ABE OE BE S BE AO ==-=⋅=-，，△【答案】C模版二 切线的性质及判定 ☞切线的性质【例5】 如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB =cm ．【题型】填空 【解析】略 【答案】4【巩固】如图，若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，且O 的半径为2，则CD 的长为（） A ．B ．C ．2D ．4A【难度】2星【解析】根据切线的性质结合三角函数求线段长度，所以答案选A ． 【答案】A【巩固】如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH BC ⊥于H ，若1PA =，4PB PC +=，则PH =___________．【考点】切线的性质及判定，公共边型的相似问题 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】 【解析】连结AO ，()22PB PC PC BC PC PC CO PO +=++=+=，∴2PO =，∵PA 是半圆的切线，∴AO PA ⊥， 又AH BC ⊥，∴2PA PH PO =⋅，∴212PA PH PO ==．【答案】12☞切线的判定【例6】 如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明；B【难度】3星 【解析】倒角B【答案】∵AEC ODB ∠=∠，AEC ABC ∠=∠，∴ABC ODB ∠=∠．∵OD ⊥BC ，∴90DBC ODB ∠+∠=°．∴90DBC ABC ∠+∠=°． 即90DBO ∠=°．∴直线BD 和O ⊙相切．【巩固】如图，已知O ⊙的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA EC =，延长EC 到点P ，连结PB ，若PB PE =，试判断PB 与O ⊙的位置关系，并说明理由．【难度】3星 【解析】略【答案】连结OB AC 、∵PB PE =，∴PEB PBE ∠=∠∵EA EC =，∴ECA EAC ∠=∠，∴2BEC BAC ∠=∠ ∵2BOC BAC ∠=∠，∴BOC BEC PBE ∠=∠=∠ ∵AB CD ⊥，∴90BOC FBO ∠+∠=︒ ∴90PBE FBO ∠+∠=︒，即90PBO ∠=︒ ∴PB 与O ⊙相切．【巩固】已知：如图，ABC∠=∠．求证：AD是O的∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD切线．【难度】3星【解析】略【答案】如图，过A作O的直径'AB，连接'CB∵'AB为O直径，∴'90B B AC∠+∠=︒，∠=︒，∴''90ACB又∵'B B∠=∠，B CAD∠=∠∴'B CAD∠=∠，∴'90∠=︒，B ADCAD B AC∠+∠=︒，即'90∴OA AD⊥∴AD为O切线．点评：若已知直线与圆有公共点时，则连接圆心和公共点，只要证明这条直线垂直于经过这个公共点的半径(有时候过这个公共点作直径更方便)即可．【巩固】已知：如图，AB是O∠．求⊥于D，AC平分DAB⊙上一点，MN过C点，AD MN⊙的直径，C为O证：MN为O⊙的切线．【难度】3星【解析】略【答案】连结OC∵AC平分DAB∠，∴CAD CAO∠=∠∵OA OC∠=∠=，∴OCA OAC∴OCA CAD∠=∠，∴AD OC∥∵AD MN⊥，∴OC MN⊥∴MN为O⊙的切线．☞求线段长【例7】已知：如图，ABC△中，AB AC⊥=，PD是O的切线，以AB为直径的O交BC于点P，PD AC 于点D．若120∠=︒，2CABAB=，求BC的值．【难度】2星【解析】连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长．【答案】连接AP，∵AB是直径，∴90∠=︒；APB∵2∠=︒，CAB==，120AB AC∴60∠=︒，BAP∴3BP=，∴23BC=．【巩固】如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将ACD△，△沿AC翻折得到ACF 直线FC与直线AB相交于点G．若2OB BG==，求CD的长．【难度】3星【解析】连接OC ，证OC FG ⊥即可．根据题意AF FG ⊥，证FAC ACO ∠=∠可得OC AF ∥，从而OC FG ⊥，得证；根据垂径定理可求CE 后求解．在Rt OCG △中，根据三角函数可得60COG ∠=︒．结合2OC =求CE ，从而得解．【答案】连接CO∵OA OC =，∴12∠=∠．由翻折得，13∠=∠，90F AEC ∠=∠=︒． ∴23∠=∠，∴OC AF ∥． ∴90OCG F ∠=∠=︒． ∴直线FC 与O 相切． 在Rt OCG △中，1cos 22OC OC COG OG OB ∠===， ∴60COG ∠=︒．在Rt OCE △中，3sin 6023CE OC =⋅︒==． ∵直径AB 垂直于弦CD ， ∴223CD CE ==．【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．【巩固】如图，O 的直径13AC =，弦12BC =．过点A 作直线MN ，使12BAM AOB ∠=∠．延长CB 交MN于点D ，求AD 的长．NM DBCOA【解析】先证明AD 为O 的切线，然后利用相似【答案】∵12BAM AOB∠=∠=ACB∠∵90 ABC ABD∠=∠=︒∴ABC DBA△∽△∴AB ADBC AC=，51213AD=∴6512 AD=课堂检测1．已知60ABC∠=︒，点O在ABC∠的平分线上，5cmOB=，以O为圆心3cm为半径作圆，则O与BC 的位置关系是________．【难度】2星【解析】结合直角三角形30°所对直角边是斜边一半求出O到直线BC的距离，从而根据圆半径判断直线与圆的位置关系，答案是相交．【答案】相交2．如图，以等腰ABC∆中的腰AB为直径作O，交BC于点D．过点D作DE AC⊥，垂足为E．（1）求证：DE为O的切线；（2）若O的半径为5，60BAC∠=︒，求DE的长．C【难度】3星【解析】（1）证明：连接AD，OD．∵AB是直径，∴90ADB∠=︒，即AD BC⊥又∵AB AC=，∴CD BD=，∴OD AC∥又∵DE AC⊥，∴OD DE⊥∴DE是O的切线（2）易知10AD AB==∴12DE AD==【答案】见解析总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．课后作业1． 如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．EBE B【难度】3星 【解析】略 【答案】（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF =∴AB EB AC +=．2． 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【难度】3星 【解析】略 【答案】（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ．可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒ ∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠， ∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．． （2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角， ∴BDC CDA ∆∆∽，∴CD BDAD DC=，即2CD AD BD =⋅． 点评：不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．3． 如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．【难度】3星 【解析】略 【答案】（1）证明：连接OA ，∵DA 平分BDE ∠，∴BDA EDA ∠=∠．∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∴OAD EDA ∠=∠．∴OA CE ∥．∵AE DE ⊥，∴90AED ∠=︒，90OAE DEA ∠=∠=︒ ∴AE OA ⊥．∴AE 是O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴90BCD BAD ∠=∠=︒． ∵30DBC ∠=︒，60BDC ∠=︒ ∴120BDE ∠=︒．∵DA 平分BDE ∠，∴60BDA EDA ∠=∠=︒ ∴30ABD EAD ∠=∠=︒．在Rt AED △中，90AED ∠=︒，30EAD ∠=︒，∴2AD DE =．在Rt ABD △中，90BAD ∠=︒，30ABD ∠=︒，∴24BD AD DE ==． ∵DE 的长时1cm ，∴BD 的长是4cm ．。