中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及答案一、锐角三角函数1.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.(1)求之间的距离(2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(2)35. 【解析】 【分析】(1)解直角三角形即可得到结论;(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==,'30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得DC=333,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m ,∴AB=sin 30AC︒=6012=120(m )(2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°,∴DC=333∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答:从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.(1)求证:△MED∽△BCA;(2)求证:△AMD≌△CMD;(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=175S1时,求cos∠ABC的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】(1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD;(3)易证MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以2114ACBS MDS AB⎛⎫==⎪⎝⎭V,所以S△MCB=12S△ACB=2S1,从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1,由于1EBDS MES EB=V,从而可知52MEEB=,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=72,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】(1)∵MD∥BC,∴∠DME=∠CBA,∵∠ACB=∠MED=90°, ∴△MED ∽△BCA ;(2)∵∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴MB=MC=AM , ∴∠MCB=∠MBC , ∵∠DMB=∠MBC , ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC , ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ,∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC , ∴∠AMD=∠CMD , 在△AMD 与△CMD 中,MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V , ∴S △ACB =4S 1, ∵CM 是△ACB 的中线, ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1, ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1, ∵1EBDS MES EB=V , ∴1125S MEEB S =,∴52ME EB =, 设ME=5x ,EB=2x , ∴MB=7x , ∴AB=2MB=14x , ∵12MD ME AB BC ==,∴BC=10x , ∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.3.如图,反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点,点C 在第四象限,CA ∥y 轴,90ABC ∠=︒. (1)求k 的值及点B 的坐标; (2)求tanC 的值.【答案】(1)2k =,()1,2B --;(2)2. 【解析】【分析】(1)先根据点A 在直线y=2x 上,求得点A 的坐标,再根据点A 在反比例函数()0ky k x=≠ 的图象上,利用待定系数法求得k 的值,再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标;(2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,根据90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,可得C ABH ∠∠=,再由已知可得AOD ABH ∠∠=,从而得C AOD ∠∠=,求出Ctan 即可.【详解】(1)∵点A (1,a )在2y x =上, ∴a =2,∴A (1,2),把A (1,2)代入 ky x= 得2k =, ∵反比例函数()0ky k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ,B 两点, ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称,∴()12B --, ;(2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,∵90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,∴C ABH ∠∠=,∵CA ∥y 轴,∴BH ∥x 轴,∴AOD ABH ∠∠=,∴C AOD ∠∠=,∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题,涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识,熟练掌握和应用相关知识是解题的关键,(2)小题求出∠C=∠AOD 是关键.4.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)已知:如图,AB 是半圆O 的直径,弦//CD AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合),20AB =,4cos 5AOC ∠=.设OP x =,CPF ∆的面积为y .(1)求证:AP OQ =;(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域; (3)当OPE ∆是直角三角形时,求线段OP 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)236030050(10)13x x y x x -+=<<;(3)8OP =【解析】 【分析】(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ =,联结OD 后还有OA DO =,再结合要证明的结论AP OQ =,则可肯定需证明三角形全等,寻找已知对应边的夹角,即POA QDO ∠=∠即可;(2)根据PFC ∆∽PAO ∆,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去. 【详解】(1)联结OD ,∵OC OD =, ∴OCD ODC ∠=∠, ∵//CD AB , ∴OCD COA ∠=∠, ∴POA QDO ∠=∠. 在AOP ∆和ODQ ∆中,{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=, ∴AOP ∆≌ODQ ∆, ∴AP OQ =;(2)作PH OA ⊥,交OA 于H , ∵4cos 5AOC ∠=, ∴4455OH OP x ==,35PH x =, ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=. ∵//CD AB , ∴PFC ∆∽PAO ∆, ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==, ∴2360300x x y x-+=,当F 与点D 重合时,∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=, ∴101016x x =-,解得5013x =, ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=o 时,90OPA ∠=o , ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=;②当90POE∠=o时,1010254cos cos25OCCQQCO AOC====∠∠,∴252OP DQ CD CQ CD==-=-2571622=-=,∵501013OP<<,∴72OP=(舍去);③当90PEO∠=o时,∵//CD AB,∴AOQ DQO∠=∠,∵AOP∆≌ODQ∆,∴DQO APO∠=∠,∴AOQ APO∠=∠,∴90AEO AOP∠=∠=o,此时弦CD不存在,故这种情况不符合题意,舍去;综上,线段OP的长为8.5.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH、PH.(1)若点P在线CD上,如图1,①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)【答案】(1)①如图;②AH=PH,AH⊥PH.证明见解析(2)或【解析】试题分析:(1)①如图(1);②(1)法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得:△DHQ等腰Rt△,根据平移的性质得DP=CQ,证得△HDP≌△△HQC,全等三角形的对应边相等得PH=CH,等边对等角得∠HPC=∠HCP,再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由代入HR,CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,∴.试题解析:(1)①法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH证:连接CH,得:△DHQ等腰Rt△,又∵DP=CQ,∴△HDP≌△△HQC,∴PH=CH,∠HPC=∠HCPBD为正方形ABCD对称轴,∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.法二:四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.(2)法一:轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△,PD=CQ,作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由得:,∴.即PD=法二:四点共向作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,∴.考点:全等三角形的判定;解直角三角形;正方形的性质;死电脑共圆6.如图,矩形OABC 中,A(6,0)、C(0,23)、D(0,33),射线l 过点D 且与x轴平行,点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点,满足∠PQO =60º.(1)点B 的坐标是 ,∠CAO = º,当点Q 与点A 重合时,点P 的坐标 为 ;(2)设点P 的横坐标为x ,△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ,试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.【答案】(1)(6,23). 30.(3,33)(2)()()()()243x 430x 331333x x 3x 5232S {23x 1235x 9543x 9x +≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解:(1)(6,23). 30.(3,33). (2)当0≤x≤3时, 如图1,OI=x ,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x ;由题意可知直线l∥BC∥OA,可得EF PE DC31==OQ PO DO333==,∴EF=13(3+x),此时重叠部分是梯形,其面积为:EFQO14343S S EF OQ OC3x x43 233==+⋅=+=+梯形()()当3<x≤5时,如图2,()HAQEFQO EFQO221S S S S AH AQ243331333x43x3=x x32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。