§3.4相互独立的随机变量课即 则称随机变量X 和Y 相互独立。

F (x , y ) = F X (x )F Y (y )定义（随机变量的独立性）设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数，F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。

若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }即 若对于任意实数 x 和 y , 有P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。

这时，联合分布可由边缘分布唯一确定。

则称随机变量X 和Y 相互独立。

传课可以证明：对于连续型二维随机变量(X , Y )， 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。

若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }F (x , y ) = F X (x )F Y (y )X 和Y 相互独立当且仅当f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )在平面上几乎处处成立（即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。

）这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。

对于连续型二维随机变量(X , Y )，X 和Y 相互独立当且仅当f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )此时，在条件Y =y 下，X 的条件概率密度X |Y f f Y ( y ) f Y ( y )X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理，在条件X =x 下，Y 的条件概率密度X f ( x )Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度例子例5 设二维随机变量(X , Y )的联合密度为问：X 与Y 是否相互独立？f (x , y ) = ⎧ (1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨ ⎪⎩ 0,其他 -1 1-1D 1 解 f (x , y )的非零区域为 D 。

f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 需求边缘概率密度。

四川大学 徐小湛-1 -1 百度传课 1D 1 当 |x |>1时， f (x , y )=0+∞ +∞ f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-∞ 0dy = 0+∞ 4 dy 11+ xy f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-1 = 1 4 1 2 (2+0) = 1 4 1 1 ( -1 -1 = dy + ⎰ ⎰ xydy ) 奇函数 当 |x |≤1时，-1-1 D 1 f (x , y ) = ⎧⎪(1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨⎪⎩ 0, 其他 X f (x ) = ⎧ 1 2, x ≤1 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他类似可得（由对称性） Y f (y ) = ⎧ 1 2, y ≤1 ⎨⎪⎩ 0, 其他X Y 2 2 4 4f (x ) f (y ) = 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 1 (1+ xy ) = f (x , y ) X 与Y 不相互独立四川大学 徐小湛 当 0<|x |<1, 0<|y |<1时，例6 设随机变量 (X , Y ) 具有分布函数证明 X , Y 相互独立。

-x ⎧(1-e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1⎪ F (x , y ) = 1-e , x ≥ 0, y >1 ( > 0) ⎨ ⎩ ⎪ 0, 其他 F (x , y ) =F X (x )F Y (y ) y →+∞= lim F (x , y ) F X (x ) = F (x ,+∞) F Y (y ) = F (+∞, y ) x →+∞ = lim F (x , y ) 证 欲证 其中百度传课 -x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0,⎩ ,x ≥ 0, y >1 其他 x →+∞ F Y (y ) = lim F (x , y ) X y →+∞ F (x ) = lim F (x , y )⎧1- e -αx , = ⎨ 0, ⎩ x ≥ 0, y > 0 其他 ⎧y , 0 ≤ y ≤1 = ⎪ ⎩ ⎨1, y >1 ⎪0, 其他-x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0, ⎩, x ≥ 0, y >1 其他 X F (x ) = ⎧1- e -αx , x ≥ 0, y > 0 ⎨ ⎩ 0,其他 Y ⎧y , 0 ≤ y ≤ 1 ⎩ F (y ) = ⎪ , y >1 ⎨1 ⎪ 0, 其他x ≥ 0, y >1时 F (x )F (y ) = (1- e -αx ) ⋅1 = F (x , y ) X Y其他情况 (x <0) F X (x ) = 0 F X (x )F Y (y ) = 0 = F (x , y ) F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 处处成立 X , Y 相互独立四川大学 徐小湛 x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1时 F X (x )F Y (y ) = (1- e -αx ) y = F (x , y )例7 设X 与Y 相互独立，X ~U (a , b ) (0≤a <b )，Y ~ e (λ)， 求: (1) f (x , y ); (2) P {Y ≤X }。

解 X ⎧ 1 f (x ) = ⎪b -a, a ≤ x ≤ b ⎨ ⎪⎩ 0,其他 均匀分布 ⎧ y > 0 f Y (y ) = ⎨ ⎩ 0, y ≤ 0 指数分布百度传课求: (1) f (x , y ) X ⎧ 1 (b -a ), a ≤ x ≤ b f (x ) = ⎨ ⎩ 0,其他 Y ⎧ y > 0 f (y ) = 0, y ≤ 0 ⎨ ⎩ b a D ⎧ f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (1) 四川大学 徐小湛 f (x , y ) = ⎪ b -a, 0 ≤ a ≤ x ≤ b , y > 0 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他f (x , y )的非零区域为 D 。

求(2) P{Y≤X}baD⎧e-λyf (x, y) =⎪b -a, 0 ≤a ≤x ≤b, y >0⎨y≤x⎪⎩0, 其他P{Y ≤X} = f (x, y)dxdyy =xG(2)百度传课例8 设X与Y相互独立，且都服从正态分布：解X ~ N(μ,σ2 ) Y ~ N(μ,σ2 )1 12 2求(X, Y)的联合概率密度f(x, y)。

(-∞<x <+∞)(-∞<y <+∞) fX(x) =Yf ( y)=X与 Y相互独立结论：二维正态随机变量(X, Y)中的X 和Y 相互独立的充分必要条件是参数（相关系数） 0例9 甲到达学校的时间均匀分布在8~12 时，乙到达学校的时间均匀分布在7~9时。

设两人到达学校的时间相互独立，求他们 到达学校的时间相差不到5分钟(1/12小时) 的概率。

X f (x ) = ⎨ ⎩ 0, 其他 Y ⎧1 4, 8< x <12 ⎧1 2, 7 < y <9 f (y ) = ⎨ ⎩ 0, 其他 解 设X 和Y 分别是甲和乙到达学校的时间， 则 X ~U (8,12), Y ~U (7,9)，它们的概率密度分别是X ⎧1 4, 8< x <12 f (x )= ⎨ 0, 其他0, Y f (y ) = ⎨ ⎩ ⎩⎧1 2, 7 <y <9 其他 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) = ⎨⎧1 8, 8< x <12, 7 < y ≤9⎩ 0, 其他8129 7D因为X 和Y 相互独立，(X , Y )的概率密度四川大学 徐小湛 D ={(x , y )| 8< x <12, 7 < y ≤9}的面积是 8即(X , Y )服从D 上的均匀分布⎧1 8, 8< x <12, 7< y ≤9 f (x , y ) =⎨ 0, ⎩其他 9 D求他们到达学校的时间相差不到5分钟(1/12小时百)的概率 。

12P { X -Y ≤ 1} 8 12 S 是G 的面积12G ={(x , y )| x - y ≤ 1,8< x <12,7 < y <9}所求概率 四川大学徐小湛7 12x -y ≤1 G 88 = ⎰ f (x , y )dxdy = 1dxdy = 1 S ⎰百度传课 12 12y = x + 1 , x = 8 ⇒ y = 8+ 1⇒ B8 12D12G ={(x , y )| x - y ≤ 1,8< x <12,7 < y <9}1 12 12 y = x - 1 , y = 9 ⇒ x = 9 + 1⇒ A 1 1 四12大学 徐小湛12 y = x - , x = 8 ⇒ y = 8- ⇒ A 212 9 1 71 1 12 12y = x + , y = 9 ⇒ x = 9 - ⇒ B 12 y = x +1 1A 2B1B 2G A x - y ≤ 1 - 1 ≤ y - x ≤ 1 x - 1 ≤ y ≤ x +1 12 12 12 12 12 y = x - 11B 2 (8,8+12)97D1 12 A (9 + 1 ,9) 1 A 2 (8,8-12), 112 B (9 - 1 ,9) 1 A 2 B 1B 2 G AG 的面积S =ΔA 1CA 2的面积- ΔB 1CB 2的面积2 12 12 2 6 6 C = 1[(1+ 1 )2 - (1- 1 )2 ] = 1 (2⋅ 1) = 1 12 G 88 48 P { X -Y ≤ 1 }= 1dxdy = 1 S = 1 四川大学 徐小湛812一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位: 千小时)。