第七周多维随机变量，独立性
7.4独立随机变量期望和方差的性质
独立随机变量乘积的期望的性质：
Y X ,独立，则()()()
Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列()
,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====⋅=，
()
1,2,,;
1,2,,i m j n
== ()()
11,m
n
i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()()
11
m n
i j i j
i j x y P X x P Y y =====∑∑()()
1
1
m
n
i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()()
E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质：
Y X ,独立，则()()()
Y Var X Var Y X Var +=+()()()
2
2
Var X Y E X Y E X Y
⎡⎤+=+-+⎣⎦
()222E X XY Y =++()()()()22
2E X E X E Y E Y
⎡⎤-++⎣
⎦
()()()()2
2
22E X E X E Y E Y
=-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()()
2
2
22E X E X E Y E Y
=-+-()()
Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()()
121
n
m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差
我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
求和的性质。
这里我们再回顾一下。
设12,,,n X X X 相互独立，且均服从0-1分布()1,B p ，则12n
X X X X =+++ 对所有n k ,,1 =，()()101k E X p p p =⨯+⨯-=，()()2
101k E X p p p
=⨯+⨯-=()()()2
2k k k Var X E X E X =-()21p p p p =-=-，
()()12n E X E X X X =+++ ()()()12n E X E X E X np
=+++= ()()12n Var X Var X X X =+++ ()()()12n Var X Var X Var X =+++ ()1np p =-***********************************************************************负二项分布随机变量
~(,)Y NB r p ：连续不断且独立地重复进行一个参数为p 的伯努利试验，第r 次“成功”
出现时所进行的试验次数。
更细致地考虑由伯努利试验构造参数为r，p 的负二项分布随机变量的过程。
从伯努利试验开始到第一次成功，所进行试验的次数是随机的，记为随机变量1X ,则1X 服从参数为p 的几何分布；然后继续独立地进行伯努利试验，到第二次试验成功，我们记从第一次试验成功后开始计算的试验次数为2X ，则2X 仍然服从参数为p 的几何分布；如此进行下去，到第r 次“成功”出现时所进行的总的伯努利试验次数Y 就等于X1加X2一直加到Xr。
设12,,, r X X X 相互独立，且均服从几何分布()Ge p ，则12 r Y X X X =+++；
()1k E X p =
，()21k p
Var X p
-=，1,2,, k r =()()()()121 r r r
E Y E X X X E X E X =+++=++=
()()()()()1212
1 r r r p Var Y Var X X X Var X Var X p -=+++=++=
***********************************************************************
例7.4.1设随机变量,X Y 相互独立，已知它们的期望分别为()E X 和()E Y 。
令
{}max ,U X Y =，{}max ,V X Y =，求()E UV 。
解：分别考虑X Y ≥和X Y <两种情况，
当X Y ≥时，U X =，V Y =；当X Y <时，U Y =，V X =；所以UV XY =，
()()()()E UV E XY E X E Y ==。