解三角形章末检测题及答案
[A 基础达标]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2
＋6，C ＝π3，则
△ABC 的面积是( )
A ．3
D ．33
解析：选＝(a －b )2
＋6＝a 2
＋b 2
－2ab ＋6，根据余弦定理得2ab cos C ＝2ab －6，即ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332
，故选C.
2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2
＋4S ＝b 2
＋c 2
，则A 等于( ) A ．45° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选A.因为a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A 且a 2＋4S ＝b 2＋c 2，所以S ＝12bc cos A ＝12bc sin A ，
即sin A ＝cos A ，则tan A ＝1，又0°<A <180°，所以A ＝45°.
3．已知△ABC 周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边长为( ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，1
2bc sin 60°＝103，
所以bc ＝40.
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120.
所以a ＝7.即BC 边长为7.
4．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
B ．53
C ．6 3
D ．73
解析：选B.连接BD ，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，所以
∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2
＝BC 2
＋CD 2
－2BC ·CD cos C ，知BD 2
＝22
＋22
－2×2×2cos 120°＝12，所以BD ＝23，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋1
2×2×2
×sin 120°＝5 3.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝2，C ＝π
3，且a ＋b ＝3，则
△ABC 的面积为( )
解析：选D.由余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ， 所以22＝a 2＋b 2
－2ab ×cos π3，
即4＝(a ＋b )2
－3ab ， 又a ＋b ＝3，所以ab ＝5
3
，
所以S △ABC ＝12ab sin π3＝53
12
，故选D.
6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，则b ＝________．
解析：因为cos C ＝13，C ∈(0，π)，所以sin C ＝22
3，
所以1
2ab sin C ＝43，所以b ＝2 3.
答案：23
7．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为________． 解析：因为S ＝12bc sin A ，所以3＝1
2
×2c sin 120°，所以c ＝2，所以a ＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝
4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A
＝
2332
＝4，所以R ＝2.
答案：2
8．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
解析：由2B ＝A ＋C ，及A ＋B ＋C ＝π知，
B ＝π3
.
在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝BC
2＝2，
所以AD 2＝AB 2＋BD 2
－2AB ·BD cos π3
＝3.
因此AD ＝ 3. 答案：3
9．(2018·枣庄八中期末检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2
A .
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．
解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2
A ，得2cos 2
A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A <π，所以A ＝π
3
.
(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3
4bc ＝53，得bc ＝20.
又b ＝5，所以c ＝4.
由余弦定理，得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.
所以sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2
A ＝2021×34＝57
.
10．(2018·佛山一中期中)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2
CD ，∠ADB ＝120°，
AD ＝2，且△ADC 的面积为3－ 3.
(1)求边BC 的长； (2)求∠BAC 的度数．
解：(1)因为∠ADC ＝180°－120°＝60°，AD ＝2，
所以S △ADC ＝12AD ·DC sin 60°＝3－3，即12×2×DC ×3
2＝3－3，解得DC ＝2(3－1)．
因为BD ＝1
2DC ，所以BD ＝3－1，BC ＝33－3.
(2)在△ABD 中，根据余弦定理，得
AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 120°＝ 6.
同理，可得AC ＝6(3－1)． 在△ABC 中，根据余弦定理，得
cos ∠BAC ＝6＋6（3－1）2
－（33－3）2
2×6×6（3－1）＝1
2，
所以∠BAC ＝60°.
[B 能力提升]
11．平行四边形ABCD 中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是( ) A ．16 B ． C ．18
D ．
解析：选A.设平行四边形的两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则
a ＋
b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65，
解得a ＝5，b ＝4，cos α＝35，
或a ＝4，b ＝5，cos α＝3
5，
所以S 平行四边形ABCD ＝ab sin α＝16.
12. (2018·株洲二中期末)如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝
3
2
BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________．
解析：设AB ＝x ，则AD ＝x ，BD ＝233x ，BC ＝43
3
x .在△ABD 中，由余弦定理，得cos A
＝
x 2＋x 2－4
3
x 2
2x
2
＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得x sin C ＝BC sin A ＝43
3
x 22
3
，解得sin C ＝
66. 答案：
66
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝
34
(a 2＋b 2－c 2
)． (1)求角C 的大小；
(2)求sin A ＋sin B 的最大值．
解：(1)由题意可知12ab sin C ＝3
4×2ab cos C .
所以tan C ＝3， 因为0<C <π， 所以C ＝π
3
.
(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3－A
＝sin A ＋
32cos A ＋1
2
sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3⎝
⎛⎭⎪⎫0<A <2π3. 当A ＝π
3，即△ABC 为等边三角形时取等号．
所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.。