第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶ 7∶8，则最大角与最小角的和为() ．A． 90° B ． 120°C．135° D ． 150°2．在△ ABC 中，下列等式正确的是() ．A． a∶ b＝∠ A∶∠ B C． a∶ b＝sin B∶ sin A B．a∶ b＝ sin A∶ sin B D． asin A＝ bsin B3．若三角形的三个内角之比为1∶ 2∶ 3，则它们所对的边长之比为() ．A． 1∶ 2∶3B．1∶ 3 ∶ 2C． 1∶ 4∶9D． 1∶ 2 ∶ 34．在△ ABC 中， a＝ 5 ， b＝15 ，∠ A＝ 30°，则 c 等于 () ．A． 25 B ． 5C．2 5 或 5 D ． 10 或 5 5．已知△ ABC 中，∠ A＝ 60°， a＝ 6， b ＝ 4，那么满足条件的△ABC 的形状大小() ．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ ABC 中，若 a2＋ b2－ c2＜ 0，则△ ABC 是() ．A．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．形状不能确定7．在△ ABC 中，若 b＝ 3 ， c＝ 3，∠ B＝ 30°，则 a＝() ．A． 3 B ． 2 3C． 3 或 23 D ． 28．在△ ABC 中， a，b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边．如果a，b， c 成等差数列，∠ B＝ 30°，△ ABC 的面积为3，那么 b＝ () ．213B ． 1＋ 323D ． 2＋ 3A．2C．29．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了 3 km ，结果他离出发点恰好 3 km，那么 x 的值是 () ．A ． 3B ． 2 3C ． 3 或 2 3D ． 310．有一电视塔，在其东南方 A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方 B 处看塔顶时仰角为 60°，若 AB ＝ 120 米，则电视塔的高度为 () ．A ． 60 3 米B ． 60 米C ．60 3 米或 60 米D ． 30 米二、填空题11．在△ ABC 中，∠ A ＝ 45°，∠ B ＝ 60°， a ＝10， b ＝ ．12．在△ ABC 中，∠ A ＝105°，∠ B ＝ 45°， c ＝ 2 ，则 b ＝ ．13．在△ ABC 中，∠ A ＝60°， a ＝ 3，则 a b c ＝．sin Bsin A sin C14．在△ ABC 中，若 a 2＋ b 2＜ c 2，且 sin C ＝3，则∠ C ＝．215．平行四边形 ABCD 中，AB ＝ 4 6 ，AC ＝ 4 3 ，∠ BAC ＝ 45°，那么 AD ＝ ．16．在△ ABC 中，若 sin A ∶sin B ∶ sin C ＝ 2∶3∶ 4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ ABC 中，∠ A ＝ 45°， a ＝ 2， c ＝ 6 ，解此三角形．18．在△ ABC 中，已知b＝ 3 ， c＝1，∠ B＝ 60°，求 a 和∠ A，∠ C．19．根据所给条件，判断△ABC 的形状．( 1) acos A＝ bcos B；( 2)a＝b＝c．cos A cos B cos C20．△ ABC 中，己知∠ A＞∠ B＞∠ C，且∠ A＝ 2∠ C， b＝ 4，a＋ c＝ 8，求 a， c 的长．第一章解三角形参考答案一、选择题1． B解析：设三边分别为5k ，7k ， 8k( k ＞0) ，中间角为，由 cos ＝ 25k 2＋64k 2－49k2＝ 1，得 ＝ 60°，2 5k 8k2∴最大角和最小角之和为 180°－60°＝ 120°．2． B 3． B 4． C 5． C 6． C 7． C 8． Ba ＋ c ＝2ba ＋ c ＝2b1ac sin 30 ＝3解析：依题可得：ac ＝62 2b 2＝( a ＋c)2 －2ac － 3ac222b ＝ a ＋c －2ac cos30代入后消去 a ，c ，得 b 2＝ 4＋ 2 3 ，∴ b ＝ 3 ＋ 1，故选 B ．9． C 10．A二、填空题11． 5 6 ． 12． 2．13． 2 3 ．解析：设a ＝b ＝c ＝ k ，则a ＋b ＋c ＝ k ＝ a ＝ 3 ＝ sin Asin Bsin A ＋sin B ＋sin C sin A sin 60sin C2 3 ．14．2．315． 4 3 ．16．－ 1．4三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法 1：由正弦定理得sin C ＝6 sin 45°＝ 6 · 2 ＝ 3 ．22 2 2 ∵ csin A ＝ 6 ×2 ＝3 ， a ＝ 2， c ＝ 6， 3 ＜ 2＜ 6 ，2∴本题有二解，即∠ C ＝ 60°或∠ C ＝ 120°，∠ B ＝ 180°－60°－ 45°＝75°或∠ B ＝ 180°－ 120°－45°＝ 15°．故 b ＝a3 ＋ 1 或 b ＝ 3 －1，sin B ，所以 b ＝sin A∴ b ＝ 3 +1 ，∠ C ＝ 60°，∠ B ＝ 75°或 b ＝ 3 － 1，∠ C ＝ 120°，∠ B ＝15°．解法 2：由余弦定理得b 2＋ ( 6 ) 2－ 2 6 bcos 45°＝ 4，∴ b 2－ 2 3 b ＋ 2＝0，解得 b ＝3 ±1．又 ( 6 ) 2＝ b 2＋ 22－ 2× 2bcos C ，得 cos C ＝± 1 ，∠ C ＝60°或∠ C ＝ 120°，2所以∠ B ＝ 75°或∠ B ＝ 15°．∴ b ＝ 3 ＋ 1，∠ C ＝60°，∠ B ＝ 75°或 b ＝ 3 － 1，∠ C ＝ 120°，∠ B ＝15°．18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．解：∵b ＝c ，sin B sin C∴ sin C ＝c sin B＝1sin 60 ＝ 1．b3 2∵ b ＞c ，∠ B ＝60°，∴∠ C ＜∠ B ，∠ C ＝ 30°，∴∠ A ＝ 90°．由勾股定理 a ＝ b 2＋c 2 ＝ 2，即 a ＝2，∠ A ＝ 90°，∠ C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． ( 1) 解法 1：由余弦定理得b 2c 2 a 2a 2b 2c 22 24 2 2 4＝ 0，acos A ＝ bcos B a · () ＝ b ·(2ac)a c － a－ b c ＋ b 2bc∴ ( a 2－b 2)( c 2－ a 2－ b 2) ＝ 0，∴ a 2－ b 2＝0 或 c 2－ a 2－ b 2＝ 0，∴ a ＝b 或 c 2＝ a 2＋ b 2．∴△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法 2：由正弦定理得sin Acos A ＝ sin Bcos Bsin 2A ＝ sin 2B2∠A ＝ 2∠B 或 2∠ A ＝ － 2∠ B ，∠ A ，∠ B ∈( 0， )∠ A ＝∠ B 或∠ A ＋∠ B ＝， 2∴△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．( 2) 由正弦定理得 a ＝ 2Rsin A ， b ＝ 2Rsin B ， c ＝2Rsin C 代入已知等式，得2 Rsin A ＝ 2R sin B ＝ 2Rsin C ， cos A cos B cosC ∴sin A ＝ sin B ＝ sin C ， cos A cos B cos C即 tan A ＝ tan B ＝ tan C ．∵∠ A ，∠ B ，∠ C ∈ ( 0， π)， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ，∴△ ABC 为等边三角形．20．解析：利用正弦定理及∠ A ＝ 2∠ C 用 a ， c 的代数式表示 cos C ；再利用余弦定理，用 a ，c 的代数式表示 cos C ，这样可以建立 a ，c 的等量关系； 再由 a ＋ c ＝8，解方程组得 a ，c ．解：由正弦定理a＝c 及∠ A ＝ 2∠C ，得sin Csin Aa＝c ，即 a ＝ c ， sin 2C sin Csin C2sin C cosC∴ cos C ＝a． 2c由余弦定理cos C＝a2b2c2，2ab∵ b＝4， a＋ c＝ 8，∴ a＋c＝ 2b，a2＋( a＋c)2－c2＝ ( 5a－3c)( a＋c) ＝5a－3c，∴ cos C＝4(＋ ) 4 ( ＋ )4aa a c∴ a ＝ 5a－3c ，2c4a整理得 ( 2a－ 3c)( a－ c) ＝ 0，∵a≠c，∴ 2a＝ 3c．又∵ a＋ c＝ 8，∴a＝24， c＝16．55。